Vollständige Induktion & Unterschiede zur anderen Beweisverfahren

Question

stehe vor meiner Abi Präsentation. Mein Thema ist folgendes:

Vollständige Induktion:

1. Stellen Sie ausführlich das Beweisverfahren der vollständigen Induktion in Abgrenzung zu anderen Beweisverfahren vor.

2. Beweisen Sie dabei folgenden Satz mit Hilfe dieses Verfahrens: 6 ist Teiler der zahlen n^3-n für alle natürlichen Zahlen mit n>1

Ich hab meine Dokumentation soweit fertig. Ich kann die vollständige Induktion erklären und auch den Satz damit beweisen. Mein Problem ist allerdings, dass ich den Unterschied zu anderen Beweisverfahren nicht verstehe (z.B. Direkter oder Indirekter Beweis). Könnt ihr mir diesbezüglich helfen?

Gruß

Arda

Answer 1

Direkter Beweis

n^3 - n = (n - 1)·n·(n + 1)

Von 3 aufeinander folgenden Zahlen ist immer mind. eine durch 2 teilbar und genau eine durch drei teilbar. Damit ist das Produkt durch 2 und durch 3 und damit immer durch 6 teilbar.

Beweis über vollständige induktion

Induktionsanfang n = 1

1^3 - 1 = 0 --> 0 ist ohne Rest durch 6 teilbar

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)^3 - (n + 1) ist durch 6 teilbar

(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) - (n + 1) ist durch 6 teilbar

n^3 + 3·n^2 + 2·n ist durch 6 teilbar

(n^3 - n) + (3·n^2 + 3·n)

(n^3 - n) + 3·(n^2 + n)

Der erste Summand ist laut Iduktionsannahme durch 3 teilbar. Der zweite Summand enthält den Faktor 3 und ist daher ebenso durch 3 teilbar.

Damit ist für alle n gezeigt das n^3 - n durch 3 teilbar ist.

Comments

Mir erschließt sich aber immer noch nicht, wo der Unterschied zum Direkten Beweis ist, leider.  Ich sehe nur, dass man schneller zur Lösung kommt ^^. Ist der Direkte Beweis einfach logisches Denken, womit man die Lösung herausfindet ohne jegliche Rechnungen wie bei der Induktion?

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Der Beweis durch Idunktion ist vergleichbar mit einer Dominokette.

Du zeigst nur das der erste Sein fällt und zeigst, wenn ein Stein fällt dann fällt auch der nächste. Damit zeigst du es für alle n.

Ein direkter Beweis nutzt eine Umformung die direkt auf eine gültige Aussage führt und damit ist es dann gleich für den ganzen Term bewiesen.

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Du solltest aber unbedingt noch im Internet zum Theme recherchieren. Z.B. bei Wikipedia.

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Die Vollständige Induktion habe ich in meiner Dokumentation auch mithilfe des Dominobeispiels erklärt. Das habe ich verstanden, damit habe ich keine Probleme. Die einzige Sache war der Unterschied zu anderen Beweisverfahren. Also kann ich es so sehen, dass beim Direkten Beweis umgeformt wird und die Aussage durch logisches Denken bezüglich der einzelnen Terme für den ganzen Term bestätigt wird anstatt wie bei der Induktion man es Schritt für Schritt macht und es für mindestens 2 n zeigt?