Wie können die beiden Spezielfälle der Lösung einer Ellipsengleichung, Punkt und Leere Menge, unterschieden werden?

Question

Hallo

Handelt es sich hierbei:

2x^2 + 3y^2 -12x + 24y +70=0

um den Spezielfall einer Ellipse, wobei die Ebene ausserhalb des Kegels liegt, und somit die Lösung eine leere Menge ist.

Können die beiden Spezialfälle von Ellipsen, Leere Menge und Punkt, dadurch unterschieden werden, das bei einem Punkt als Lösung, die Ellipsengleichung faktorisiert werden kann, und aus der faktorisierten Gleichung der Punkt heraus gelesen werden kann, wohingegen bei einer Leeren Menge als Lösung dies nicht möglich ist?

Danke

Answer 1

Du kannst auch deine Gleichung ja mal faktorisieren

2·x^2 + 3·y^2 - 12·x + 24·y + 70 = 0

2·x^2 - 12·x + 3·y^2 + 24·y = - 70

2·(x^2 - 6·x) + 3·(y^2 + 8·y) = - 70

2·(x^2 - 6·x + 9 - 9) + 3·(y^2 + 8·y + 16 - 16) = - 70

2·(x^2 - 6·x + 9) - 18 + 3·(y^2 + 8·y + 16) - 48 = - 70

2·(x - 3)^2 + 3·(y + 4)^2 = - 4

Dort ist jetzt der rechte Teil negativ, warum es keine Lösung gibt, da der Linke teil immer größer gleich 0 ist.

Falls sich rechts die 0 ergeben sollte hättest du die Punktlösung.