Stochastik, Oktaeder und Tetraeder

Question

würde mich über eine Kontrolle freuen

Ein Oktaeder hat auf den acht Seiten die Ziffern 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3. Ein Tetraeder hat auf den vier Seiten die Ziffern 1, 1, 2, 3. Das Oktaeder und das Tetraeder werden zusammen je einmal geworfen. Es gilt die Zahl auf der Standfläche.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A:,,Es werden zwei gleiche Zahlen geworfen."

P(A)=(3/8 * 2/4) + (3/8 *1/4) + (2/8 *1/4)=0,3438

B:,,Es wird mindestens eine Drei geworfen."

P(B)=1-[ (3/8 * 2/4)+ (3/8 * 2/4) + (3/8 * 1/4)+(3/8 * 1/4) ]=0,4375

C:,,Die Augensumme beträgt 4."

P(C)=(3/8 * 1/4 )+(3/8 *1/4)+(2/8 *2/4)=0,3125

D=A∩B

P(D)=2/8*1/4=0,0625

b) Es wird folgendes Spiel angeboten: Das Oktaeder und das Tetraeder werden einmal geworfen. Bei zwei gleichen Ziffern gewinnt man. Bei zwei Dreien erhält man 10 € ausbezahlt, bei zwei 5 € und bei zwei Einsen 3 €. Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 €. Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn bzw. Verlust des Spielers pro Spiel

P(3I3)=2/8 * 1/4=1/16

Bei 16 Spielen gewinnt man- einmal.

16 Spiele= 16*2€ Einsatz=32€

1- mal gewinnen=1*10 € Auszahlung=10€

Gewinn=10€-32€=-22€

P(2I2)=3/8 * 1/4=3/32

Bei 32 Spielen gewinnt man 3 -mal.

32 Spiele= 32*2 € Einsatz=64 €

3-mal gewinnen= 3*5€ Auszahlung=15€

Gewinn=15€-64€=-49€

P(1I1)=3/8 * 2/4=3/16

Bei 16 Spielen gewinnt man 3-mal.

16 Spiele=16*2€ Einsatz=32 €

3-mal gewinnen=3*3€=16€

Gewinn=16€-32€=-16€

c) Max vermutet, dass das Tetraeder mit einem gefälschten Tetraeder ausgetauscht wurde, weil bei den letzten 4 Würfen des Tetraeders dreimal eine Drei gekommen ist. Bei dem gefälschten Tetraeder ist Wahrscheinlchekeit für eine Drei auf 3/4 erhöht.

Mit welcher Wahr. hat Max recht? Mit welcher Wa. irrt sich Max?

Comments

Kann jemand mir bitte sagen , ob ich b) richtig gelöst habe & ob etwas fehlt?

Wie löst man c) ?

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Mir ist immer noch unklar, was du mit deinen Rechnungen in b) bestimmen wolltest. Den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel, also die Gewinnerwartung, ergeben deine Rechnungen nicht.

Die Gewinnerwartung ist die Differenz aus dem Erwartungswert der Auszahlungen und dem Einsatz.

Answer 1

Hi,

zu a) Ich habe P(A) = 11/32 = 0.34375. Du liegst also bis auf die Rundung richtig.

zu a) P(B) würde ich auch über das Gegenereignis berechnen, aber das geht auch einfacher als du es gemacht hast. Dein Ergebnis habe ich aber auch.

Comments

danke, und wie sieht es mit dem Rest aus?

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zu a) P(C) und P(B) sind auch richtig.

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Dankeschön & der rest ?

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zu b) Die durchschnittliche Auszahlung (in Euro), also der Erwartungswert der Auszahlung, berechnet sich zu:

(2/8*1/4)*10 + (3/8*1/4)*5 + (3/8*2/4)*3.0 = 53/32 = 1.65625

Das ergibt bei 2 Euro Einsatz einen Verlust von 0.34375 Euro pro Spiel und bei 32 Spielen ein Verlust von 11 Euro. Deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen. Was hattest du vor?

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Danke, ich habe das nach dem Prinzip versucht:

https://www.mathelounge.de/352571/glucksrad-hat-drei-gleich-grosse-120%C2%B0-sektoren

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Dankeschön,

Also macht meins nicht Sinn oder?

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Wieso sieht es mit a) P(D) aus  & c) ?

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https://www.mathelounge.de/352571/glucksrad-hat-drei-gleich-grosse-120%C2%B0-sektoren

Die letzten zwei Zeilen von der Antwort.

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Die letzten Zeilen dort sind nur eine Nebenbetrachtung zur Veranschaulichung, die eigentliche Rechnung wurde vorher schon durchgeführt. Sie kann auf

E(A) = ( 2/3 * 2/3 + 1/3 * 1/3 ) * 2 € - ( 2/3*1/3 + 1/3*2/3 ) * 3 € = -2/9 €

zusammengefasst und verkürzt werden. Sie sagt aus, dass A pro Spiel im Durchschnitt 2/9 Euro, also etwa 22 Cent, verliert und B eben jeweils diesen Betrag gewinnt.

Ähnlich die Rechnung hier:

E(G) = (2/8*1/4)*10 + (3/8*1/4)*5 + (3/8*2/4)*3 - 2 = -11/32 = -0.34375 Euro pro Spiel.

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Verstehe. Vielen Dank für die Antwort.

Kannst du auch vielleicht bei c) helfen?

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c) Max vermutet, dass das Tetraeder mit einem gefälschten Tetraeder ausgetauscht wurde, weil bei den letzten 4 Würfen des Tetraeders dreimal eine Drei gekommen ist. Bei dem gefälschten Tetraeder ist die Wahrscheinlichkeit für eine Drei [von 1/4] auf 3/4 erhöht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Max recht?

$$ B\left( n=4 , p=\frac34 , 3 \le X \le 4\right) $$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt sich Max?

$$ B\left( n=4 , p=\frac14 , 3 \le X \le 4\right) $$

Ob das der Aufgabensteller im Sinn hatte, weiß ich nicht. Vielleicht möchte er auf einen Hypothesentest hinaus. Jedenfalls ist mir die Aufgabenstellung unklar, insbesondere die Verwendung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit in den beiden Fragen.

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Vielleicht kann das jemand noch einmal sicherhaltshalber bestätigen....


?

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Du könntest auch mal die Quelle deiner ganzen Aufgaben angeben...

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Ich habe bei der a) Ereignis A die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen addiert und somit zusammengefasst , als wäre es nur ein Würfel mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Also P(1)= 5/12 usw.

Ich erhalte dort fast das selbe Ergebnis, nur die Nachkommastellen sind geringfügig anders.

Für mein Verständnis, wie ist das zu erklären?

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Mir ist nicht klar worauf du dich jetzt exakt beziehst.

P(A) = P(11, 22, 33) = 3/8·2/4 + 3/8·1/4 + 2/8·1/4 = 11/32 = 0.3438

Wenn du nur mit einem Würfel rechnest und dann auf etwas ähnliches kommst ist das halt so. Es ist ja trotzdem verkehrt.

Answer 2

Hier meine Kontrollergebnisse weil mir das in den Kommentaren ein Kuddelmuddel ist.

a)
P(A) = 11/32 = 0.3438
P(B) = 7/16 = 0.4375
P(C) = 5/16 = 0.3125
P(D) = 1/16 = 0.0625

b)
E(Gewinn) = -11/32 = -0.34375

c)
P(gefälscht | drei Dreien bei 4 Würfen) = 9/10 = 0.9
P(fair | drei Dreien bei 4 Würfen) = 1/10 = 0.1