Wie beweisen ich,dass die hermitesche Matrix A negativ definit ist?

Question

Sei A ∈ Mat(n,n,K) eine hermitesche Matrix und seien δ_k, k=1,..,n, ihre führenden Hauptminoren.Die Matrix A ist negativ definit genau dann, wenn δ_i< 0 für alle ungeraden i und δ_i>0 für alle geraden i gilt. Ich soll das beweisen, könnte mir einer erklären wie ich hier  vorgehen muss?

Answer 1

Hi,
eine hermitesche Matrix ist positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind. Eine Matrix ist negativ definit, wenn \( -A \) positiv defnit ist. Da für jede quadratische Matrix \( B \) gilt $$ \det(-B) = (-1)^n \det(B) $$ folgt \( -A \) ist positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren ungerader Dimension \( < 0 \) sind und alle führenden Hauptminoren gerader Dimension \( > 0 \) sind.