Taylor-Polynom 4. Grades

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

MfG

Answer 1

Wenn du das Taylorpolynom entwickeln sollst dann solltest du erstmal 4 Ableitungen von f(x) bilden. Zum Fehler abschätzen brauchst du dann noch die 5. Ableitung.

Dann stellst du das Taylorpolynom auf.

Dann setzt du 1/3 für x ein und ermittelst die Näherung.

Dann machst du noch die Fehlerabschätzung.

Hast du schon direkt am Anfang Schwierigkeiten die Ableitungen zu bilden ?.

Für die vierte Ableitung komme ich z.B. auf

f''''(x) = - 56/(81·(x + 1)^{10/3})

Wenn man dort 0 seinsetzt ist das einfach

f''''(0) = - 56/81

Nun solltest du mal schauen wie weit du alleine kommst.

Comments

f´(x)= 2/3 (x+1)^{-1/3}

f´´(x)= - 2/9 (x+1)^{-4/3}

f´´(x)= 8/27 (x+1)^{-7/3}


das ist kein problem.

Die Formel lautet ja:

T_n,a(x)=f(a)/0! *(x-a)^0 +f(a)/1! *(x-a)^1 +f``(a)/2! *(x-a)^2 +....+f^{n}(a)/n! *(x-a)^n

Was ich nicht ganz verstehe ist, was was ist. ist a mein x0? und x ist der wurzelausdruck oder wie?

Und ich verstehe nicht wie du auf 1/3 kommst.

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4/3 = 1 + 1/3

Die 1 steht ja schon in der Funktion, daher brauchst du noch die 1/3 als Addition.

Dein x0 ist in deiner Form das a. Die Stelle an der das Taylorpolynom aufgestellt wird.

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achso ok, also dann ist mein x=1/3

und noch zwei fragen: dann setze ich dort das alles in taylor formel ein bis zur 4. ableitung und kriege dann einen wert raus. was sagt mir der wert?

und du hast gesagt ich brauche die 5, ableitung für die fehlerabschätzung, kannst du mir dort weiter helfen, da habe ich echt keine ahnung.

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Wenn du in das Taylorpolynom den Wert einsetzt dann sollte das die Näherung sein. Die wolltest du ja haben. Du solltest dann auch mit dem TR prüfen ob die Näherung an den realen Wert rankommt.

Schau mal zunächst für die Restgliedabschätzung unter

https://www.youtube.com/results?search_query=taylorpolynom+restglied

Wenn du dann noch Fragen hast, melde dich gerne wieder.

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Soweit habe ich das errechnet. Ist das richtig?

und bei b)

wenn ich das richtig verstanden habe, dann setze ich in die 5. ableitung 0 ein bekommen dann 560/243 raus, teil das durch 5! und nehme mal (1/3)^5 und komme auf 7/177147

ist das richtig?

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Also schon das Taylorpolynom ist nicht wirklich richtig

a)

f(x) = (1 + x)^{2/3}

f'(x) = 2/(3·(x + 1)^{1/3})

f''(x) = - 2/(9·(x + 1)^{4/3})

f'''(x) = 8/(27·(x + 1)^{7/3})

f''''(x) = - 56/(81·(x + 1)^{10/3})

f'''''(x) = 560/(243·(x + 1)^{13/3})

T4(x) = f(0) + f'(0)/1!·x^1 + f''(0)/2!·x^2 + f'''(0)/3!·x^3 + f''''(0)/4!·x^4

T4(x) = 1 + 2/3·x^1 - 1/9·x^2 + 4/81·x^3 - 7/243·x^4

T4(1/3) = 1 + 2/3·(1/3)^1 - 1/9·(1/3)^2 + 4/81·(1/3)^3 - 7/243·(1/3)^4 = 23843/19683 = 1.211349895

Vergleich zum realen Wert

(4/3)^{2/3} = 1.211413728

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ich hatte am anfang eine 2/3 stehen nicht eine 1 warum auch immer, das war der fehler.

R(x)= 560/243/120 * (1)^{-13/3} * (1/3)^5 = 7/177147 passt das?

Und Danke für deine Hilfe :)