Korrektur Analysis Aufgaben

Question

Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und rechne ehemalige Aufgaben durch. Leider gibt es keine Lösung. Kann mir bitte jemand bestätigen ob ich folgende Beispiele richtig begründet habe.Angabe:Man entscheide ob die Folgenden Aussagen zutreffen bzw. ob sie wahr oder falsch sind bzw. in welchem Spezialfall sie zutreffen oder wie sie modifiziert werden müssten das sie zutreffen.a) Sei {a_n} eine konvergente Folge min a_n>0 für alle n∈ℕ. Dann ist auch die Folge {b_n} mit bn=1/a_n konvergent.Meine Antwort ist wahr weil b_n eine Teilfolge von a_n ist und konvergiert eine Folge gegen den Grenzwert a, dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen a.b) Sei {a_n} eine konvergente Folge. Dann ist auch die Reihe ∑(a_n+1-a_n)(a_n+a_n+1) konvergent.Meine Antwort ist falsch weil ich keine Aussage treffen kann, nur weil die Folge konvergent ist. Wie ich die Aufgabe allerdings modifizieren müsste das sie gilt weis ich nicht.c)Sei f:[0,∞)→ℝ mit f(x)>0 für alle x≥0. Dann ist F(x)=∫f(t)dt in den grenzen x,0 injektiv.Meine Antwort ist wahr für alle x₁≠x₂.Danke schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

a) Sei {a_n} eine konvergente Folge min a_n>0 für alle n∈ℕ. Dann ist auch die Folge {b_n} mit bn=1/a_n konvergent.

Wie ist das mit 

an = 1/n

Comments

Hmm dann wäre an eine Nullfolge aber bn würde für n gegen unendlich gegen unendlich konvergieren. Ist es also keine Teilfolge?

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bn ist keine Teilfolge. Während an im Intervall ]0 ; 1] ist ist bn im Intervall von [1 , ∞[. Kann bn dann eine Teilfolge sein?

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Nein natürlich nicht. Ich kann also aus der Angabe nicht daraus schließen das bn konvergent ist. Wie muss ich die Angabe aber verändern das sie zutrifft?

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Überleg dir warum bn in meinem Beispiel divergiert und wie du das verhindern kannst. also konkret, welche folgen darf man wohl für an nicht nehmen.

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Weil bn Teilmenge von ℚ ist. Bedeutet das dass die Reihe konvergent ist für alle ℕ?