Kartesische Produkte von Vektorräumen

Question

ich hänge ein wenig bzw. bin mir meiner bisherigen Antworten nicht sicher.
Fragestellung:

" Seien V und W Vektorräum. Wir definieren die SUmme und das Skalarprodukt für das kartesische Produkt VxW wie folgt: (v1,w1)+(v1,w2)=(v1+v2,w1+w2)       µ*(v,w)=(µ*v,µ*w)

Zeige, dass ( VxW,+,*) ein Vektorraum ist."

Ich gehe jetzt so vor, dass ich dke Eigenschaften abarbeite:
-Kommutativität: x+y=y+x
Beweise also: (v1,w1)+(v2,w2)=(v2,w2)+(v1,w1) ( Stimmt dieser Ansatz?!)
weiter vorgegangen bin ich folgendermaßen:
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)=(v2+v1,w2+w1)=(v2,w2)+(v1,w1)

-Assoziativität: x+(y+z)=(x+y)+z
Mein Ansatz:
Beweise also: (v1,w1)+((v2,w2)+(v3,w3))=((v1,w1)+(v2.w2))+(v3,w3)

(v1,w1)+((v2,w2)+(v3,w3))=(v1,w1)+(v2+v3,w2+w3)=(v1+v2+v3,w1+w2+w3)=(v1+v2,w1+w2)+(v3,w3)=((v1,w1)+(v2.w2))+(v3,w3)

Die nächste Eigenschaft wäre der Nullvektor, dass gilt: 0+x=x=x+0 ( Definition aus der VL)
ist der Ansatz: 0+(v1,w1)=(0+v1,0+w1)=(v1,w1)=(v1+0,w1+0)=(v1,w1)+0     so richtig ?

Answer 1

Ja stimmt so, wäre vielleicht noch besser mit Hinweis wie:

(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)   wegen Komm. in V und W also

=(v2+v1,w2+w1)=(v2,w2)+(v1,w1).

etc. Die Eigenschaften ergeben sich ja alle aus den entsprechenden

Eigenschaften von V und W alleine.