Linearität einer Abbildung beweisen & Kern berechnen

Question

habe leider zwei Teilaufgaben mit denen ich nicht weiterkomme und wo ich mir nun, konkret auf diese Aufgabe bezogene, Hilfe erhoffe:

a) Überprüfen ob L1 und L2 linear sind
b) Kern(L1) bestimmen

Vielen Dank fürs Lesen und hoffentlich auch antworten :)

Answer 1

a) Musst nur prüfen ob jedes Mal

L1 ( ( a   b   )  +  (  e    f )     )   =   L1  ( a   b   )  + L1  (  e    f )    
         ( c    d )           ( f     g  )                  ( c    d )           ( f     g  )

gilt und entsprechend bei einem Faktor t

L1 (   t*  ( a   b   )  )    =   t * L1  ( a   b   ) 
                 ( c    d )                        ( c    d ) 

Letzteres liefe darauf hinaus, zu prüfen, ob

(ta+tb)*x^2   +  (tc + td ) * x = t * (  ( a+b)*x^2 + (c+d) * x ) )

was ja nur eine Anwendung des Distributivgesetzes ist.

Kern L1:    Im Kern liegen alle 2x2 Matrizen, deren Bild das

0-Polynom ist.  also a+b = 0  und   c+d = 0, Die sehen also so aus:

a    -a
c    -c   

Eine Basis würde bgebildet aus

1 -1     und       0   0
0  0                  1   -1