Question

Sei A ∈ M(n, n, K). Beweisen Sie, dass det A ≠ 0 ⇔ Rang(A) =  n gilt.

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Der zu beweisende Satz ist nicht sehr spektakulär. Wenn das eine Übungsaufgabe ist, soll sie wohl über die von der Vorlesung zur Verfügung gestellten Mittel gelöst werden und nicht irgendwie. Vielleicht schreibst Du mal auf, was die Vorlesung über Rang und Determinante von Matrizen, speziell den quadratischen, so hergibt. Als Vorschlag würde ich mal die lineare Unabhängigkeit von Zeilen- oder Spaltenvejtoren ins Spiel bringen.

Answer 1

Ey Leute, was geht.

Bogogogopolskix3 ist hier und so, und jetzt nimmt erstmal euren Stift in die Hand, denn dann ist alles in Ordnung.


det(A)=0 würde bedeuten, dass die Matrix gleiche Zeilen oder Nullzeilen besitzt, im Umkehrschluss heißt

det(A)≠0 also, dass keine Zeilen gleich oder Null sind. Alle n Zeilen sind also voneinander linear unabhängig ⇔ Rang(A)=n, denn der Rang gibt die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten an.

Bis Morgen.

Comments

Auch eine Matrix ohne Nullzeilen und mit paarweise verschiedenen Zeilen kann Null als Determinante haben.

Und eigentlich hast du nur die Behauptung aufgeschrieben und behauptet, dass die gilt.

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Beispiel? Und Ihr Lösungsvorschlag?

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Es könnte z.B. eine Zeile die Summe zweier anderer Zeilen sein.

Und die Lösung erhält man recht schnell, wenn man ausnutzt, dass eine Matrix vom Rang n sich durch elementare Zeilenumformungen in Dreiecksform überführen lässt. Dann wendet man die Definition des Ranges an und denkt darüber nach, was diese Zeilenumformungen mit der Determinante anstellen.

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Achso, ja, dass eine Zeile die Summe anderer Zeilen ist, habe ich mit Nullzeile gemeint, da man diese durch Umformung erhalten würde.

Answer 2

Rang(A) = n würde bedeutetn, dass A eine Nullmatrix ist, da jede Zeile 0 ist.

Da aber die Determinante von z.b.
1 2

2 1      = B

nicht null, sondern det( B ) = 1 * 1 - 2 * 2 = - 3 ist und B nicht 0 ist, ist die Aussage falsch.

Comments

Upsala falsch falsch falsch, sorry

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Meine Antwort ist falsch sorry.

Naja ich hoffe es ist nicht so schlimm...