Hommogene Lösung der Differentialgleichung

Question

Ich habe eine Differentialgleichung zu lösen, was grundsätzlich kein Problem ist.

Durch das charakteristische Polynom komme ich auf die Eigenwerte 1, 2i und -2i

Nun soll ich die homogene Lösung aufstellen.

Hier meine Lösung: y_h = c₁*e^t + c₂*e^2it + c₃*e^-2it

Laut Lösungsbuch jedoch: y_h = c₁*e^t + c₂*cos(2t) + c₃*sin(2t)

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

LG

Answer 1

Es gibt dafür Tabellen, z.B. diese

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Da liest Du die Lösung ab. Du hast 2 konj.komplexe Lösungen

also siehe Seite 2: Punkt1; 3.Zeile

Du kannst das Ganze auch natürlich händisch mit der Eulerschen Formel  berechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

Das ist aber nicht nötig, dazu gibt es ja Tabellen .

Comments

Wenn das charakteristische Polynom 3 Lösungen hat, ist die DGL doch wohl von der Ordnung 3. Dazu findet sich nichts in deinem Link.

Außerdem will der FS keinen Ansatz für eine partikuläre Lösung sondern einen Hinweis zu dem Unterschied zwischen seiner homogenen Lösung und der im Lösungsbuch. Schwierig, wenn die DGL nicht gegeben ist.

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Außerdem will der FS keinen Ansatz für eine partikuläre Lösung sondern einen Hinweis zu dem Unterschied zwischen seiner homogenen Lösung und der im Lösungsbuch.

----------->das ist doch in der Antwort (im Link) klar beschrieben worden

in dem Link steht:e^{i y}=cos(y)+i sin(y)

Jetzt müssen die Werte noch  eingesetzt und ausgerechnet werden, das ist alles.

Selbst wenn die DGL nicht gegeben ist, wird diese Stelle in vielen Fällen zur Umwandlung verwendet.