Hypothesentest Fehler 1. und 2. Art

Question

Ich brauche Hilfe bei meinen Hausaufgaben. Wäre lieb wenn mir jemand erklären könnte wie ich hier vorgehen soll und Ansätze nennen könnte. Ich hab schon alles versucht aber ich finde keinen Ansatz. 

Außerdem verstehe ich nicht was mit den Fehlern 1. und 2. Art gemeint sein könnte. 

Die Aufgabe lautet: 

In einer Billig-Energy-Drink Fabrik werden Dosen abgefüllt und verschlossen. Dabei werden nicht alle Dosen ordnungsgemäß verschlossen. Stündlich werden 100 Dosen kontrolliert. Erfahrungsgemäß werden nicht mehr als 10% der Dosen falsch verschlossen. In einer Stichprobe werden 13 Dosen gefunden die falsch verschlossen sind. 
Für die weitere Berechnungen wird binomialverteilung vorausgesetzt. 

1.
Wie viele falsch verschlissene Flaschen dürfen bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% höchstens in der Kontrolle gefunden werden? Erläutere den Fehler 1. Art im sachzusammenhang.

2.
Berechne den Fehler 2. Art, wenn tatsächlich 20% der Dosen falsch verschlossen werden. Erläutere auch hier im sachzusammenhang. 

Answer 1

a) Wie viele falsch verschlossene Flaschen dürfen bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% höchstens in der Kontrolle gefunden werden?

μ = n·p = 100·0.1 = 10

σ = √(n·p·(1 - p)) = √(100·0.1·0.9) = 3 --> Achtung: Hier darf eigentlich nicht mit der Normalverteilung genähert werden. Wir wissen darum, dass die Näherung nicht genau ist und nähern trotzdem.

Φ(k) = 1 - 0.05 --> k = 1.645

μ + k·σ = 10 + 1.645·3 = 15

P(x ≥ 16 | p = 0.1) = 3.99%

Es dürften höchstens 15 falsch verschlossene Dosen in der Kontrolle gefunden werden.

b) Erläutere den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang.

...

c) Berechne den Fehler 2. Art, wenn tatsächlich 20% der Dosen falsch verschlossen werden.

P(x ≤ 15 | p = 0.2) = 12.85%

d) Erläutere auch hier im Sachzusammenhang.

...

Comments

Schaffst du die Erläuterungen zum Fehler 1. und 2. Art alleine ? Probier es mal.

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Erstmal vielen Dank ..!!

Ich verstehe was mit den Fehlern gemeint ist mittlerweile, aber im sachzusammenhang kann ich das irgendwie nicht verbinden.

Also was ist jetzt mit Fehler 1. Art in diesem Zusammenhang gemeint?

Wäre top wenn du mir das auch erklären könntest.

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Der Fehler 1. Art bedeutet das die Nullhypothese H0 zu unrecht abgelehnt wird.

Die Nullhypothese ist hier das 10% Fehlerhaft sind.

Wenn wir die Nullhypothese zu unrecht ablehnen bedeutet es, dass wir annehmen, es seien mehr als 10% defekt.

Wir machen den Fehler 1. Art wenn aber tatsächlich nur 10% defekt sind aber wir denken es sind mehr defekt.

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Hey kannst du mir bitte nochmal ausführlich erklären wie du Aufgabe 1a) gemacht hast? Ich versteh nicht wie du auf k kommst...?

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Φ(k) = 1 - 0.05 = 0.95

Jetzt liest man das k in der Tabelle der Standardnormalverteilung ab.

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Φ

Was bedeutet dieses Zeichen ?

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Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung.

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Nutzt man dieses Zeichen auch in der Schulmathematik, haben gerade dieses Thema aber habe das Zeichen noch nie gesehen und im Buch auch nicht?

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Na klar, kommt in den Tabellenwerken immer vor.

Das Zeichen ist ein großes, griechisches Phi.

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Nutzt man dieses Zeichen auch in der Schulmathematik, haben gerade dieses Thema aber habe das Zeichen noch nie gesehen und im Buch auch nicht?

Die "Schulmathematik" ist ungefähr das, was im (jeweils zuständigen) Lehrplan steht, und was die Schule dann daraus macht (wenn sie es tut) und was die jeweilige Lehrperson davon in ihrem eigenen Lehrplan umsetzt.

Über allem steht natürlich die Regel, die eine Lehrerin mal so zusammengefasst hat: "Papier ist geduldig!"

Damals, im Jahr 2016 und früher, musste man Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit Verteilungen wie der Binomialverteilung (um die es hier geht) und der Normalverteilung (die unter geeigneten Umständen die Binomialverteilung in guter Näherung ersetzen kann) mithilfe von Tabellen ermitteln.

Aktuell ist das so nicht mehr nötig, wenn geeignete digitale Rechenhilfsmittel zur Verfügung stehen.

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Es geht ja darum, eine Entscheidungsregel für einen Hypothesentest anzugeben. Dan kann man je nach Rechnereinsatz direkt oder über Probieren ermitteln. Ein anderer Weg ist die Näherung über die Normalverteilung, wie ich es gemacht habe.

Generell werden die Sigmaregeln der Standardnormalverteilung eigentlich immer im Unterricht vermittelt. Schau mal im Buch, ob die bei euch auch mit drinstehen. Wenn ja könnte dir der Wert 1.645 auch daher bekannt vorkommen.

P(μ - 1.645·σ ≤ X ≤ μ + 1.645·σ) ≈ 0.9

Es gibt aber auch Schulen und Lehrer, die nur nach einer Losenblattsammlung versuchen den Schülern etwas zu vermitteln. Da bleiben meist sehr viele Lehrinhalte auf der Strecke.

Answer 2

Ich hätte wie folgt angesetzt:

Nullhypothese p<=0,1  Gegenhypothese p>0,1 damit rechtsseitiger Test, alpha=0,05

da es eine Binomialverteilung sein soll gilt B_100;0,1 und damit P(x>=b)<=0,05 bzw. 1-P(x<=b-1)<=0,05

mit GTR ergibt sich b=16, Ablehnungsbereich damit [0..16] bzw. Annahmebereich [17..100]

Wenn also maximal 16 Dosen nicht verschlossen wären, wird die Nullhypothese bestätigt.

Der Fehler 1.Art entspricht hier der Irrtümlichen Ablehnung der Nullhypothese obwohl diese richtig wäre

Der Fehler 2.Art entspricht der Beibehaltung der Nullhypothese obwohl diese falsch ist.

Comments

ich muss mich korrigieren:
Ablehnungsbereich ist natürlich [16..100]da rechtsseitiger Test und Annahmebereich [0..15] Demnach wird die Nullhypothese angenommen, wenn maximal 15 Dosen offen sind.
sry