Taylorpolynome mit Zentrum x=1. Taylorreihe bestimmen. f(x) = ln(x), x>0.

Question

Folgende Aufgabe:
Ich habe mich jetzt schon mehrere Stunden mit dem Thema auseinandergesetzt leider bekomme ich es einfach nicht hin. Prinzipiell habe ich es verstanden das man sich der Funktion annähert und die Genauigkeit bestimmt. Leider scheitere ich bei dieser Ausgabe absolut. Könnte mir jemand mal diese Aufgabe lösen? Es muss nicht komplett sein aber Teilergebnisse wären nett und vielleicht ein paar Anmerkungen was man machen muss. Damit ich mich vielleicht daran zur Lösung hangeln kann. Vielen leiben Dank im Voraus für eure Hilfe!!!!

Comments

Kann mir wenigstens jemand einen Ansatz oder eine grobe Herangehensweise geben?

Answer 1

a) f(x)=ln(x)

f'(x)=1/x

f''(x)=-1/x^2

f'''(x)=2/x^3

f''''(x)=-6/x^4

Vermutung: f^{n}(x)=-(1)^{n+1}*(n-1)!*x^{-n} für n>=1

(f^0(x)=ln(x))

Beweis mit Induktion:

Induktionsanfang: n=1: -(1)^{1+1}*(1-1)!*x^{-1}=1/x stimmt

Induktionschritt: n--> n+1:

f^{n+1}=d/dx f^{n}=d/dx -(1)^{n+1}*(n-1)!*x^{-n}=-(1)^{n+1}*(n-1)!*(-n)*x^{-n-1}=-1^{[n+1]+1}*([n+1]-1)!*x^{-[n+1]} stimmt

Für x₀=1 vereinfacht sich die Formel zu  f^{n}(1)=-(1)^{n+1}*(n-1)!

ln(1)=0

--> Tn(x,1)=∑_k=1ⁿ -(1)^{k+1}*(k-1)!/k!*(x-1)^k=∑_k=1ⁿ -(1)^{k+1}/k*(x-1)^k

Taylorreihe: T_f(x,1)=∑_k=1^∞ -(1)^{k+1}/k*(x-1)^k

b) Für das Konvergenzradius kannst du das Quotientenkriterium nutzen:

r=lim n --> ∞ betrag a_n/a_n+1 lim n --> ∞ (k+1)/k=1

Das Konvergenzintervall lautet somit I=(0,2] (Für x=0 nicht konvergent, für x=2 hingegen schon.)

Restglied:

R_n(x,x₀)=f^{n+1}(c)/(n+1)!(x-x₀)^{n+1}=-(1)^{n+2}*(n)!*c^{-n-1}/(n+1)!*(x-1)^{n+1}

=-(1)^{n+2}*c^{-n-1}/(n+1)*(x-1)^{n+1}

c∈(0,2]

Das Restglied soll nur angegeben werden, nicht abgeschätzt.

c) (1/2,2] Teilmenge von (0,2]

d)

plot~ ln(x);(x-1)-(x-1)^2/2 ~plot~