Funktion mit Gleichung f(x) = -2x^4 + 10x^2 - 8 ausführlich untersuchen

Question

Gegeben ist die Funktion f durch f(x) =  -2x⁴ + 10x² - 8

Untersuche die Funktion f ausführlich.

Comments

Hier noch der Graph.

~plot~ -2x⁴ + 10x² - 8 ~plot~

Answer 1

Funktion & Ableitungen

f(x) = - 2·x^4 + 10·x^2 - 8

f'(x) = 20·x - 8·x^3

f''(x) = 20 - 24·x^2

Symmetrie

Achsensymmetrie aufgrund der geraden Potenzen von x.

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = - ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 8

Nullstellen f(x) = 0

- 2·x^4 + 10·x^2 - 8 = 0

x = ± 1 ∨ x = ± 2

Extrempunkte f'(x) = 0

20·x - 8·x^3 = 0

x = 0 ∨ x = ± √10/2 = ± 1.58

f(0) = - 8 --> TP(0 | -8)

f(√10/2) = 4.5 --> HP(± 1.58 | 4.5)

Wendepunkte f''(x) = 0

20 - 24·x^2 = 0

x = ± √30/6 = ± 0.91

f(√30/6) = - 19/18 = - 1.06 --> WP(± 0.91 | - 1.06)

Comments

Verhalten im Unendlichen

Der Graph verläuft vom III. in den IV. Quadranten.

Das ist etwas ungenau, denn \(y=-1\) oder \(y=-1/x^2\) usw. verlaufen ebenso, verhalten sich aber doch deutlich anders.

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Das stimmt. Ich habe die Aussage etwas präzisiert.

Answer 2

Das Wort "ausführlich" ist kein fester Begriff. Man könnte z.B. auch noch auf Links- und Rechtskrümmung sowie auf Definitionsbereich und Wertevorrat eingehen. Genau genommen sollte eine Liste von Aspekten bekannt sein, die das Wort "ausführlich" interpretiert. Diese ist von Lehrer zu Lehrer unterschiedlich und kann durch einen Fremden nicht erraten werden.