Sei \( \alpha \in ℝ\setminus \left\{ 1 \right\} \), sei \( J\subset ℝ \) ein offenes Intervall, und seien \( g,h:J\rightarrow ℝ \) stetige Funktionen. Definieren Sie \( f:J\) \(×\) \(]0,∞[\) \(\rightarrow ℝ\) durch \( f(x, y) = -g(x)y - h(x){ y }^{ \alpha } \) und betrachten Sie die Differentialgleichung \( y'=f(x,y) \), also $$ y'+g(x)y+h(x){ y }^{ \alpha }=0.\quad \quad \quad (1) $$ Sie heißt Bernoullische Differentialgleichung.
Zeigen Sie: Ist \(I\) ein offenes Intervall in \(J\) und \( \psi :I\rightarrow ℝ \) eine differenzierbare Funktion mit $$ \psi'(x) + (1 -\alpha)g(x) \psi(x) + (1 -\alpha)h(x) = 0 \quad \quad \quad (2) $$ und \( \psi(x)>0 \) für alle \( x\in I \) und ist $$ \phi (x)={ \psi (x) }^{ \frac { 1 }{ 1-\alpha } }, $$ so ist \( \phi \) eine Lösung von (1).
Ist umgekehrt \( \phi \) eine Lösung von (1) mit positiven Werten, so erhält man durch \( \psi ={ \phi }^{ 1-\alpha }\) eine Lösung von (2).
