wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion beweis

Question

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gegeben ist ein Polynom f(z) = z²/2 *(1+z)² . Beweisen Sie das f eine Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist.

bei der Lösungsvorschlag steht f ist ein Polynom mit positive Koeffizienten die sich zu eins summieren. somit ist f eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion.

Ich verstehe den Beweis nicht. 1. warum muss f ein positive Koeffizienten haben ?

2. wo kann ich sehen das f sich zu eins summiert ? und warum muss sich f zu eins summieren ??

danke schon im Voraus

Answer 1

> 1. warum muss f ein positive Koeffizienten haben ?

Muss es nicht. Es genügt, dass die Koeffizienten nicht negativ sind. Sie müssen nicht-negativ sein, weil es ansonsten implizieren würde, das es negative Wahrscheinlichkeiten gibt. Das liegt an der Definition der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion.

> 2. wo kann ich sehen das f sich zu eins summiert ?

Überhaupt nicht. Die Koeffizienten summieren sich zu 1. Sie müssen sich zu 1 summieren, weil es ansonsten implizieren würde, dass das sichere Ereignis nicht die Wahrscheinlichkeit 1 hat. Das liegt an der Definition der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion.

Das sich die Koeffizienten zu 1 summieren siehst du, wenn du ausmultiplizierst.