Verallgemeinerte Pascalidentität

Question

Meine Frage:  Wie kommt man von der vorherigen Zeile auf ∑∞_k=0∑^k_s=0(alpha; s)*(beta;k-s) x^k

Wie genau wird hier vorgegange und wieso hat man als Grenze für die zweite Summ s=0 und k? und wieso haben wir bei beta k-s?

Answer 1

Hi,
eigentlich wendet man hier lediglich die Cauchysche Produktformel an
$$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} $$
siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Wegen $$ (1+x)^\alpha = \sum_{s=0}^\infty \binom{\alpha}{s} x^s $$ und $$ (1+x)^\beta= \sum_{s=0}^\infty \binom{\beta}{s} x^s $$ folgt
$$ (1+x)^{\alpha+\beta} = (1+x)^\alpha (1+x)^\beta = \left[ \sum_{s=0}^\infty \binom{\alpha}{s} x^s \right] \left[ \sum_{s=0}^\infty \binom{\beta}{s} x^s \right] $$
Anwenden der Cauchyschen Produktformel mit \( a_s = \binom{\alpha}{s} x^s \) und \( b_s = \binom{\beta}{s} x^s \)
ergibt
$$ (1+x)^{\alpha+\beta} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k \binom{\alpha}{s}x^s \binom{\beta}{k-s}x^{k-s} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{s=0}^k \binom{\alpha}{s} \binom{\beta}{k-s}x^k $$