Tangente durch den Punkt (0/0)? F(x)=(4x-4)/x^3

Question

F(x)=(4x-4)/x^3 soll eine Tangente besitzen die  durch den Punkt (0/0) also durch den Ursprung verläuft.

Könnte mir hier wer helfen?

Lg Marie

Answer 1

       ########f(x) = (4·x - 4) / x³    #######→   f '(x) =   4·(3 - 2·x) / x⁴ #######  Tangentengleichung:  y = m*x

Tangente und Funktionsgraph müssen sich schneiden:
 f(x) = f '(x) * x        ##########    (4·x - 4) / x³  = 4·(3 - 2·x) / x⁴ * x

→  x = 4/3 ist die Berührstelle

f(4/3) = 9/16   → (4/3 | 9/16 ) ist der Berührpunlkt   , f '(4/3) = 27/64   

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

Tangente:   y = 27/64 · (x - 4/3) + 9/16

y = 27/64 · x

Gruß Wolfgang

#####    tut mir leid, der Editor spinnt mal wieder 

Comments

Dass die Funktion für x=0 nicht definiert ist, hat doch mit der Tangente nichts zu tun.

Die Tangente soll  f(x) nicht im Ursprung berühren, sondern durch ihn gehen

Oder sehe ich das falsch?

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Du siehst das richtig, aber ich hatte die betreffende Antwort bereits gelöscht und inzwischen neu beantwortet.

Answer 2

F(x)=(4x-4)/x³

Steigung Tangente f ' (x) = (-8x+12)/x^4

Tangente bei (a;(4a-4)/a³ )  hat die Gleichung

y = mx + n

(4a-4)/a³ )  = (-8a+12)/a^4  * a  + n

Und wenn die Tangente durch (0;0) geht ist n=0 also

(4a-4)/a³ )  = (-8a+12)/a^4  * a

(4a-4)/a³ )  = (-8a+12)/a^3  

4a-4 = -8a+12

12a = 16 

a = 4/3 .

Also oist im Punkt (  4/3   ;  9/16) die gesuchte Tangente.

Answer 3

die allgemeine Tangentenformel lautet:

t(x)=f'(a)*(x-a)+f(a)

f'(x)=(12-8x)/(x^4)

--> t(x)=(12-8a)/a^4*(x-a)+(4a-4)/a^3

es soll gelten t(0)=0

Also (12-8a)/a^4*(-a)+(4a-4)/a^3=0

-(12-8a)/a^3+(4a-4)/a^3=0 

-12+8a+4a-4=0

12a=16

a=4/3

t(x)=27/64x

 ~plot~ (4x-4)/x^3;27/64x ~plot~

Answer 4

hier meine Berechnungen

t ( x ) = 0.4219 * x

Berührpunkt ( 4/3 | 0.5625 )