Eigenvektoren bestimmen mit nullspalte

Question

Ich verstehe nicht wie ich hier den eigenvektor bestimmen soll. An der Stelle an der ich aufgehört habe komme ich nicht mehr weiter... Aus der Matrix am Ende würde sich ja ein eigenvektor mit den Einträgen (0,0) ergeben den die dritte Komponente taucht ja nicht auf (siehe dritte Spalte gleich null) zu sagen das es sich hier um einen nullvektor (0,0,0) handelt wäre doch falsch weil x3 in der Matrix nicht existiert.

Answer 1

Der Vektor (0,0,t) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.

Comments

Aber warum denn rein rechnerisch stimmt das doch nicht

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Also eine Erklärung wäre super

Answer 2

Genau, Du bekommst einen Eigenvektor mit den ersten beiden Komponenten  = 0 und die dritte kannst Du frei wählen, z.B. = 1. dann ist der EV auch normiert.

Aber es gibt ja noch zwei andere Eigenvektoren.

Comments

Ok aber worauf muss ich dann achten wenn ich den wähle oder ist das total egal

Und gilt das nur wenn eine Komponente nicht vorhanden ist?

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Wie gesagt, Du hast folgende Gleichung zu lösen, wenn Du einen EV zum EW \( \lambda = 0 \) berechnen willst.

$$ \begin{pmatrix}  0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$
Das ergibt \( -y = 0 \), \( x = 0\) und damit ist \( z \) beliebig. Wenn Du eine EV der Länge \( 1 \) haben willst, dann wählst Du \( z = 1 \). Wenn zwei Werte frei wählbar sind, hast Du zwei l.u. Eigenvektoren