Das Polynom p ist gegeben. Bestimme die Nullstellen. p(x)=x^4 -13*x^2 +36

Question

Das Polynom p ist gegeben durch p(x)=x⁴ -13*x² +36

Bestimme die Nullstellen x₁ , x₂ ,x₃ , x₄ von p

Answer 1

p(x)=x⁴ -13*x² +36

= (x^2 - 9)(x^2 - 4)

= (x+3)(x-3)(x+2)(x-2)

x1 = -3,

x2 = -2,

x3 = 2,

x4 = 3,

Kontrolle mit einem Plot:

~plot~ x^4 -13*x^2 +36; [[40]] ~plot~

Du kannst zoomen. 

Answer 2

Mache die Substitution \( z = x^2 \) dann bekommst Du eine quadratische Gleichung. Die normal lösen und zurück substituieren.

Answer 3

Der erste Schritt könnte so aussehen:$$ p(x) = x^4 - 13 \cdot x^2 +36 = \left(x^2-4\right) \cdot \left(x^2-9\right) = \dots $$(Satz von Viéta)

Answer 4

\(p(x)=x^4 -13 \cdot x^2 +36\)

Lösungsweg ohne Substitution oder Vieta:

\(x^4 -13 \cdot x^2 +36=0\)

\(x^4 -13 \cdot x^2 =-36\)

\(x^4 -13 \cdot x^2 +(\frac{13}{2})^2=-36+(\frac{13}{2})^2\)

\([x^2 -(\frac{13}{2})]^2=\frac{25}{4}    | ±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(x^2 -6,5=2,5    \)

\(x^2=9| ±\sqrt{~~}   \)

\(x_1=3  \)

\(x_2=-3  \)

\(2.)\)                                           

\(x^2 -6,5=-2,5    \)

\(x^2 =4  | ±\sqrt{~~}  \)

\(x_3 =2    \)

\(x_4 =-2    \)

Comments

Hier liegt Vieta mMn am nächsten:

Suche 2 Zahlen, deren Produkt 36 ergibt. Die Vorzeichen ergeben sich von selbst:

1-36, 2/-8/ 3-12, 4-9

Schnell landet man beim Paar 4-9 wie die Vorredner oben.

Dass das auch ein Fall für den Retter der entrechteten quadr. Ergänzung ist, hat noch gefehlt. :)