In Produktform bringen 2x^3-4x^2+4x-2

Question

Wie bringe ich 2x^3-4x^2+4x-2 am besten in die Produktform?

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Ich suche die Produktform von:

x^3-2x^2+2x-1

Die erste Nullstelle ist x=1

Answer 1

Ausklammern!                                  

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Was soll man hier sinnvollerweise ausklammern?

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Beispielsweise so:

$$ 2x^3-4x^2+4x-2 = \\2\cdot\left(x^3-2x^2+2x-1\right) = \\2\cdot\left(x^3-1-2x^2+2x\right) = \\2\cdot\left( \left(x^2+x+1\right)\cdot\left(x-1\right)-2x\cdot\left(x-1\right)\right) = \\2 \cdot \left(x^2-x+1\right)\cdot\left(x-1\right).$$

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Auf diese Lösung kommt kaum einer. Aber toll, wie du das gemacht hast. :)
Der klassiche Weg ist die Polynomdivision.

Answer 2

Willst das Polynom komplett in linearfaktoren zerlegen? Dann würde ich es mit Polynom Division probieren.

Answer 3

 2x³-4x²+4x-2       | 2 ausklammern.

= 2 * ( x^3 - 2x^2 + 2x - 1)

Nun bist du eigentlich schon fertig. Das ist ein Produkt. 

Man kann aber aber sogar noch weiter faktorisieren (vgl. vorhandene Antworten). 

Du erkennst durch "scharfes Hinsehen" sofort, dass x = 1 eine Nullstelle der Klammer ist. Grund: 1 - 2 + 2 -1 = 0. Also enthält die Klammer den Faktor (x - 1). 

Die erwähnte Polynomdivision sieht folgendermassen aus.

(x^3 - 2x^2 + 2x - 1) : (x-1) = x^2 - x + 1

-(x^3 - x^2)

-----------------

_         -x^2  + 2x

.       - (  -x^2 + x)

----------------------

                       x   - 1

.                   -(x-1)

----------------------

.                        0

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 Daher: 2x³-4x²+4x-2   = 2 * ( x^3 - 2x^2 + 2x - 1)

= 2*(x-1)(x^2 -x + 1) 

Der letzte Faktor lässt sich nicht mehr weiter faktorisieren ohne komplexe Zahlen. Daher darfst du bei diesem Produkt nun aufhören.