Grenzwerte: lim (x->3) (x^2 - 9)/(x - 3) und lim (x->0) (x^4 + 3x^2)/(x^2 +e^x)

Question

! Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Bestimmen Sie die nachfolgenden Grenzwerte:

a) lim _(x->3)  (x² - 9) / (x - 3)

b) lim _(x->0) (x⁴ + 3x²)/ (x^2 +e^x)

Ich bin ehrlich gesagt mit lim nicht sehr bewandert. Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn man die Lösung Schritt für Schritt erklären könnte.

Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Christopher

Comments

@Christopher: Du musst um Zähler und Nenner Klammern setzen. Habe sie entsprechend den vorhandenen Antworten ergänzt.

Answer 1

a) lim _(x->3) (x^2 - 9) / (x - 3) = (x + 3) * (x - 3) / (x - 3) = (x + 3) = 6

b) lim _(x->0) (x^4 + 3x^2) / (x^2 + e^x) = 0

Man sollte bei b) beachten das e^0 = 1 ist und somit der Nenner nicht null ist. Damit braucht man keinen Grenzwert bilden. Aber vielleicht steht das e^x auch nicht mehr unter dem Bruchstrich.

b) lim _(x->0) (x^4 + 3x^2) / x^2 + e^x = 0 = x^2 + 3 + e^x = 4

Comments

Bitte entschuldigt, aber ich hab ein Schreibfehler drinnen gehabt. Die Aufgabe für b) lautet:

 

b) lim _(x->0) = x⁴ + 3x² / x² * e^x

---

b) lim _(x->0) = (x^4 + 3x^2) / (x^2 * e^x)

b) lim _(x->0) = (x^2 + 3) / e^x = 3

Answer 2

b) ist einfach:
Wenn x -> 0, dann

(x^4 + 3x^2) / (x^2 + e^x)               so ist es doch gemeint?

-> 0

denn der Zähler geht gegen 0,
und der Nenner gegen e^0 = 1,
alles zusammen also gegen 0/1 = 0


a)

Wir nehmen einen kleinen x-Wert, der nur ganz gering über 3 liegt, und setzen ein:
((3 + h)^2 - 9) / ((3 + h) - 3) =

(9 + 6h + h^2 -9 ) / (3 + h - 3) =

(h^2 + 6h) / h =

h + 6

Und das geht für h -> 0

gegen 6.

Comments

Deine Rechnung zu a) ist unnötig lang. Entweder verwendet man die dritte binomische Formel oder man erkennt den Differentialquotienten, wenn man schon Ableitungen kennt.

---

Viele Wege führen nach Rom.