Äquivalenzrelation: a+b =0

Question

Handelt es sich bei (a,b) aus Z² (Z:=ganze Zahlen) für a+b= 0 um eine Äquivalenzrelation?

Meine Idee:

reflexiv, da a+a = 0 für a = 0

symmetrisch, da a+b = 0 auch b+a= 0 gilt(z.B. 2-2 = 0 und -2+2 = 0)

transitiv,da a+b = 0 und b+c = 0 und auch (a+b) + (a+c) = 0 gilt.

Habe ich einen Fehler gemacht?

Lieben Gruß,

Erik

Answer 1

Handelt es sich bei {(a,b) ∈ Z² (Z:=ganze Zahlen) |  a+b= 0 } um eine Äquivalenzrelation?

reflexiv, da a+a = 0 für alle a ∈ Z . Stimmt sicher nicht. 1+1 ≠ 0. nicht reflexiv. 

symmetrisch, da wenn a+b = 0 auch b+a= 0 gilt( z.B. 2-2 = 0 und -2+2 = 0)  richtig. 

 

transitiv, wenn ( a+b = 0 und b+c = 0) müsste auch a + c = 0 gelten. nicht transitiv, denn 1 + (-1) = 0 und (-1) + 1 = 0 aber 1 + 1 ≠ 0,

Daher: Nein. Keine Äquivalenzrelation.

Comments

Stimmt, nur die Symmetrie ist erfüllt.

Answer 2

Sei M={(a,b) ∈ ℤ x ℤ: a+b=0}

Es gilt aber nicht dass a ∈ M für alle a ∈ ℤ.

Comments

> a ∈ M  gilt schon deshalb nicht, weil M eine Menge von Zahlenpaaren ist.

> Es gilt aber nicht dass a ∈ M für alle a ∈ ℤ

begründet also eigentlich gar nichts. Richtig wäre

Es gilt nicht, dass (a,a) ∈ M  für alle a ∈ ℤ  

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Ja, das meinte ich. Danke für den Kommentar!