Question

Nullstelle von -x^3+6x^2-12x+9 berechnen

Wie gehe ich vor?

Lg

Blindhands

</closen> Ich habe die Lösung doch herausgefunden, trotzdem danke!

Answer 1

Das ist eine Aufgabe vom Typ: Lehrer stellen meist leicht zu erratene 1. Nullstelle

(schon bei x=3) dann Polynomdivision

dann pq-Formel für quadr. Gl. ...

(x²-3*x+3) = 0

die noch 2 komplexe Nullstellen ergibt.

Universell gibt es analog zur pq-Formel auch für Grad 3 eine explizite PQRST-Lösungsformel, die immer funktioniert

(auch mit komplexen Faktoren)

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Hinweis: Faktoren für x^4 bis 6 sind 0

(Vor-)Faktor für x³  ist -1 usw.

Answer 2

f(x) = -x³+6x²-12x+9 = 0

die Nullstelle  x₁ = 3  (Teiler von 9!) kannst du durch Probieren finden.

Polynomdivision:  [ Onlinrechner mit Rechenweg findest du  hier ]

(-x³+6x²-12x+9) : (x-3) = - x² + 3·x - 3

 - x² + 3·x - 3 = 0  ⇔ x² - 3x + 3 = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = -3  ; q = 3

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)     ,   (p/2)² - q =  (-3/2)² - 3  = 9/4 - 3 < 0

→ keine weiteren reellen  Nullstellen  wegen negativem Wert unter Wurzel

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Wenn man keine Nullstelle raten kann:  vgl. hier   oder benutze ein numerisches Näherungsverfahren wie z.B. das :

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier

Gruß Wolfgang

Answer 3

     f  (  x  )  :=  x  ³  -  6  x  ²  +  12  x  -  9       (  1  )

      Schau mal, was Pappi alles weiß:

 https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

    Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  Dein Polynom kann wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben.

   Irgendwie kann das aber nicht sein, was Wiki da behauptet, der SRN stamme von Gauß. Gauß ist doch Kult; wieso hat euch euer Lehrer denn das alles nicht gesagt?

   Und warum wird die Irrationalität von sqr ( 2 ) nicht über den SRN bewiesen?

   Dein Lehrer hat doch studiert. Was du nicht wissen kannst. Seriöse Algebrabücher sind einzig Artin und v.d.Waerden ( 1930 ) Der soll da mal nach gucken, ob da was von SRN drin steht ...

   Also bis auf das Vorzeichen kann die Wurzel nur ein Teiler von 9 sein; 1 , 3 oder 9 ( Erst mit dem SRN hat ja Raten überhaupt Sinn; unsere 12mc lachte den Streusel noch aus für sein armseliges Argument

   " Raten ist eine legitime Metode; meine Herewn, warum lachen Sie? " )

   Polynomdivision ist viel zu weit her geholt; wir haben also die Wurzel x0 = 3 und wollen beweisen, dass z0 komplex. Mein Vorschlag: du gehst über den Satz von Vieta.

      a2  =  -  [  x0  +  2  Re  (  z0  )  ]  =  ( - 6 )  ===>  Re  (  z0  )  =  3/2      (  2a  )

      a0  =  -  x0  |  z0  |  ²  =  ( - 9 )  ===>  |  z0  |  =  sqr  (  3  )          (  2b  )