Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2013 mit aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen zu schreiben?

Question

Also: 1+2+3+4 = 10

Bei 2013: x+(x+1) + (x+2) +... = 2013

Wie rechnet man hier das x über die Summenbildung aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen aus?

Gibt es mehrere Lösungen?

Answer 1

Für die Summe gilt

a + (a+1) + (a+2) + ... + b = (a + b)·(b - a + 1)/2

2013 = (a + b)·(b - a + 1)/2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2013+%3D+%28a+%2B+b%29%C2%B7%28b+-+a+%2B+1%29%2F2

Das gibt die Lösungen:

{{a == -2012, b == 2013},
{a == -1005, b == 1007},
{a == -669, b == 672},
{a == -332, b == 338},
{a == -177, b == 188},
{a == -80, b == 102},
{a == -44, b == 77},
{a == -2, b == 63},
{a == 3, b == 63},
{a == 45, b == 77},
{a == 81, b == 102},
{a == 178, b == 188},
{a == 333, b == 338},
{a == 670, b == 672},
{a == 1006, b == 1007},
{a == 2013, b == 2013}}

Comments

Weshalb b? Ist b nicht das letzte Element der Summe, also b=a+n ?

Und warum hast du negative Zahlen berücksichtigt?

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Ja. b ist hier das letzte Element in der Summenkette.

Ich habe das allgemein mit den Zahlenreihen ganzer Zahlen gemacht. Wenn nur nach den Reihen mit natürlichen Zahlen gefragt ist kann man das ja selber leicht einschränken.

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also warum b?

Und mit welchem Rechenschritt kommst du von:
a + (a+1) + (a+2) + ... + b

zu

(a + b)·(b - a + 1)/2

?

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Du solltest die Summenreihe kennen

Summe von 1 + 2 + 3 + ... + b = b*(b+1)/2

Summe von 1 + 2 + 3 + ... + (a - 1) = (a - 1)(a)/2

Jetzt zieht man vom ersten das zweite ab

b*(b+1)/2 - (a - 1)(a)/2

Das ganze noch vereinfacht gibt

b*(b+1)/2 - (a - 1)(a)/2 = (a + b)·(b - a + 1)/2

Ich kenne letztere Formel aber auch auswendig, so dass ich mir die nicht immer herleiten muss.

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Was stört dich den an dem b ? Irgendwie muss man ja das Ende der Zahlen kennzeichnen.

Es gibt bei dieser Aufgabe ja mehrere Wege die zum Ergebnis führen.

Man hätte das auch schreiben können:

(a + 0) + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + n) = a*(n+1) + n*(n+1)/2 = (n + 1)*(2a + n)/2

2013 = (n + 1)*(2a + n)/2
a = (4016 - n^2 - n)/(2n + 2))