Aufsuchen einer Polynomfunktion 3.Grades mit Wendepunkt

Question

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H=(0/3) und den Wendepunkt W=(1/1). Ermittle eine Terdarstellung der Funktion f!Meine Bedingungen, die ich aufgestellt habe: 1) f(0)=32)f'(0)=03)f(1)=14)f"(1)=0dh. 1) d=32)c=03)a+b+c+d=04)6a+2b=0des weiteren hab ich:3) a+b=-34)6a+2b=0-> a=4/6In meinem Lösungsheft steht aber: f(x)=x^3-3x^2+3 als Lösung, folgedessen sollte a=1 als Lösung herauskommen..wo liegt der Fehler?

Answer 1

Hi,

Bei der Aufstellung der Gleichung zu 3) hast Du einen Fehler. Es ist nicht  = 0, sondern = 1.

Dann kommst Du auf die Musterlösung :).

Grüße

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! :)Grüße zurück

Answer 2

     Eine Steckbriefaufgabe. Der Täter wird an Hand seiner Symmetrie überführt.  Würdet ihr etwas Gescheites lernen, ginge es viel schneller. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS ) Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.

       " Jedes kupistische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "

      Aus dieser Spiegelsymmetrie ergibt sich die Mittelwertbeziehung

        (  x  |  y  )  (  w  )  =  1/2  [  (  x  |  y  )  (  max  )  +  (  x  |  y  )  (  min  )  ]           (  1a  )

      Das ist euch nämlich gar nicht bewusst; habt ihr zwei von den kritischen Punkten, habt ihr automatisch den dritten - eine Info, die euch Lehrer und Bücher so eigentlich gar nicht zuspielen wollten.

         (  x  |  y  )  (  min  )  =  (  2  |  -  1  )      (  1b  )

    Ihr sollt  euch praktisch einreden, jedes Polynom biete quasi wieder eigene, gänzlich neue Abenteuer.

   Mit den beiden Extrema habe ich aber schon mal DIE NULLSTELLEN DER ERSTEN ABLEITUNG beisammen.

        f  '  (  x  )  =  k  x  (  x  -  2  )  =  k  (  x  ²  -  2  x  )       (  2a  )

    Bisher sehe ich nur eine Unbekannte, den ===> Leitkoeffizienten k . Was ist jetzt zu tun? ===> Integral ===> Stammfunktion ; " Aufleiten " Jetzt nicht argumentieren, Integral war noch nicht dran. Ihr wisst sehr wohl, welche Funktion die Ableitung  ( 2a ) hat

          f  (  x  )  =  k  (  1/3  x  ³  -  x  ²  )  +  C        (  2b  )

        Beim Aufleite entsteht eine weitere Unbekannte, die ===> Integrationskonstante C . Ich sage immer: Wer in Schulaufgaben mehr wie zwei Unbekannte investiert, lebt verkehrt. ( Und meine Unbekannten haben eine Wunder schön anschauliche Bedeutung. )

   Wenn du x = 0 setzest, hast du unmittelbar C = 3 . Und für k brauchen wir noch x = 1 .

         k  (  1/3  -  1  )  +  3  =  1   |   *  3      (  3a  )

        -  2  k  =  (  -  6  )   ===>   k  =  3     (  3b  )

      f  (  x  )  =  x  ³  -  3  x  ²  +  3     (  3c  )

    Wie macht man die Probe auf ( 3c ) ? Die Funktionswerte f ( 0 ) so wie f ( 1 ) sind glaub ich nicht der Akt. Auch dass die Ableitung für x = 0 verschwindet, ist klar, weil wir keinen Beitrag von a1 haben.

   Aber wie prüft man auf WP? Das mit der 2. Ableitung war wieder ein ganz kalte; das geht doch beceutend schneller. Du gehst immer aus von der Normalform - liegt in ( 3c ) bereits vor. Abermals für FRS

          x  (  w  )  =  -  1/3  a2      (  4  )