Beispiel im Reellen
f(x) = √(|x|) ist nicht differenzierbar in x= 0. Grösste Menge D = ℝ \ {0} .
Ich schreibe das um auf eine stückweise definierte Form
f(x) = { x^{1/2} für x≥ 0
. = { (-x)^{1/2} für x < 0
f ' (x) = { 1/2 x^{-1/2} für x≥ 0
..... = { 1/2 *(- x)^{-1/2} * (-1) für x < 0
f ' (x) = { 1/ (2 √x ) für x≥ 0
..... = { -1/(2 * √(-x) für x < 0
Ableitung ist hier fertig. Wenn sie nicht stückweise dargestellt werden soll, noch etwas umwandeln.
Wegen x/|x| = ± 1 je nach dem, ob x grösser oder kleiner als 0 ist, komme ich auf:
f ' (x) = x / (2 |x| √| x | )
Was genau mit dem Differenzial gemeint ist, muss in deinen Unterlagen stehen.
Wählen wir mal x0 = 4.
f '(4) = 1/ (2*√4 ) = 1/4 ist die Steigung der gesuchten Tangente.
f(4) = √|4| = √4 = 2
Tangente geht durch P(4|2) und hat die Steigung m=1/4.
y = 1/4 * x + q | P einsetzen
2 = 1/4 * 4 + q
1 = q
Tangentengleichung für x0= 4 lautet t: y = 1/4 * x + 1
Skizze zur Kontrolle und Illustration:
~plot~ sqrt(abs(x)); 0.25x + 1; x=4; x=-4; -0.25x + 1 ~plot~
Ich habe die Symmetrie ausgenutzt und gleich noch eine 2. Tangente eingezeichnet. Sie gehört zu x0 = -4.
