Suche Formel für die Störfunktion x³ oder 2x³ usw.

Question

Hallo.

Ich habe eine Frage, es geht um das Thema Differentialgleichungen und zwar geht es um die partikuläre Lösung. Es gibt für jede Störfunktrion spezielle Formeln aber zu der Störfunktion in dieser Form : 2x² oder x³ finde ich keine Formel jede die ich bisher verwendet habe führte nicht zum richtigen Ergebnis. Deshalb meine Frage gibt es eine Formel für die oben genannte Störfunktion.

PS: Variation der Konstanten will ich nicht verwenden

Answer 1

suche formel für die störfunktion x³ oder 2x³

Allgemein gesagt ist das y_p= A +Bx +C x² +D x³

Besser ist es natürlich die genaue Aufgabe zu kennen, da die part. Lösung ja von der hom. Lösung abhängig ist.

hier hast Du eine Tabelle mit allg. Ansätzen:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2 ; Punkt 2

Comments

Danke für die Antwort aber leider komme ich nie auf die richtigen lösungen habe schon viele Formel ausprobiert.

Z.b diese beiden Beispiele: 2xy+y=10x². ein anderes Beispiel : y+4y=32x².Welche Formel müssten für die verwendet werden?

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Nehmen wir als Beispiel y`+4y=32x²

Ansatz für die part. Lösung:

y_p=A +Bx+Cx²

y_p'= B+2Cx

eingesetzt in die Aufgabe:

B+2Cx +4(A +Bx+Cx²) =32 x²

B+2Cx +4A +4Bx+4Cx²) =32 x²

->Koeffizientenvergleich:

x²: 4C =32 ->C=8

x¹ :2C+4B= 0 ----->B= -4

x⁰ :B+4A= 0 ->A=1

------>

y_p=1 -4x +8x²

y_h= C_1 e^-4x

y=y_h +y_p

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danke und für die andere Rechnung genau die selbe Formel?

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und wieso ausgerechnet diese Formel wieso nicht die : A +Bx oder eine andere ?

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so ist es.(gleicher Ansatz für y_p)

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und wieso ausgerechnet diese Formel wieso nicht die : A +Bx oder eine andere ?

->weil das Störgleid bis x² geht , deswegen y_p=A +Bx+Cx²

^{Schau bitte in der Tabelle nach, da stehen die ganzen Formeln}

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gut eine letzte frage wäre x³ würde man das so verwenden: y_p= A +Bx +C x² +D x³  oder?

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allgemein ja, aber beachte ,das die part. Lösung ja von der hom. Lösung abhängig ist.

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ok und welche fälle könne da eintreten bei den Formeln die ich habe steht nur die allgemeine von x².

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Auf die Schnelle fällt mir folgende Aufgabe ein:

y'' +2 y'+2= 32 x²

hier ist y_p= x(A +Bx+Cx²)

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Ok danke aber bei dem Beispiel 2xy`+y=10x² kommt bei der partikulären Lösung : -20x+10x²

Bei meinen Lösungen steht aber das 2x² herauskommen sollte habe ich was falsch gemacht habe diese Formel benutzt yp = A+Bx+Cx²

Danke

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Bei meinen Lösungen steht aber das 2x² herauskommen sollte --->das kommt auch heraus:

2xy`+y=10x²

y_p=A +Bx+Cx²

y_p'= B+2Cx

->Einsetzen in die Aufgabe:

2x (B+2Cx)  +A +Bx+Cx^{2 =} 10x²

2xB +4C x² +A +Bx+Cx^{2 =} 10x²

5 C x²+3xB+A= 10x²

-<Koeffizientenvergleich:

x²: 5C=10 ->C= 2

x¹: 3XB=0 -->B=0

x⁰: A=0

---->

y_p= 2x²

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oh nein habe ein dummen Rechenfehler gemacht.

Danke für deine Hilfe

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gern doch.

Answer 2

Störfunktion : g(x)=xⁿ

Ansatz: y(x)=∑_k=0ⁿ a_kx^k

also bei g(x)=2*x²

y(x)=ax²+bx+c

weitere Beispiele zu anderen Störfunktionen findest du hier:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

Answer 3

Hier findest du zwei Tabellen:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Der Ansatz für die partikuläre Lösung ist nicht nur von der Störfunktion, sondern auch von den Lösungen der charakteristischen Gleichung der homogenen DGL abhängig.

Du musst also die jeweilige Tabelle sehr genau lesen.

Gruß Wolfgang