zeige, das jede zugehörige parabel genau 3 schnittpunkte mit der x-achse hat.

Question

Hi, 
ich brauch wirklich eure Hilfe. Ich habe eine Funktionsschar fa(x) = ax^3 + x^2 -x/a. Für das Element a gilt R\{0}. Und ich muss zeigen, dass die Funktion 3 Schnittpunkte hat. Irgendwie iritiert mich das x/a. Und im World wide Web habe ich auch nichts gefunden.Da wäre noch eine zweite Frage: Hoch und Tiefpunkte bestimmen, aber das ist nicht so wichtig. Am besten natürlich mit Rechenwegen! LG

Answer 1

 (a≠0) 

 fa(x) = ax³ + x² -x / a   = 0

⇔    x³ + 1/a • x² - 1/a² • x = 0

⇔    x • ( x² + 1/a • x - 1/a² ) = 0      

Nullstellensatz →  x₁ = 0  oder 

x² + 1/a • x - 1/a² = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = 1/a ; q = - 1/a²

x_2,3 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

Da der Term unter der Wurzel positiv ist, gibt es zwei weitere - insgesamt also genau drei - Schnittstellen:

 x_2,3 = - 1/(2a) ± \(\sqrt{(1/(4a^2) + 1/a^2 }\)  =  1/(2a) · ( -1  ±  \(\sqrt{5}\) )   [ x₁ = 0 ]

Gruß 

Comments

Vielen Dank Wolfgang.Wenn du mir jetzt noch sagen kann wie du auf x³ + 1/a² • x² - 1/a • x = 0 gekommen bist. Dann wär der Tag perfekt. Du teilst durch "a" und was hast du noch gemacht? bzw. wie komme ich auf das aleinige "x" am Ende?Der Rest ist dann ja selbsterkärend mit p-q-Formel usw..

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Sorry, war ein Schreibfehler.

Muss  x³ + 1/a • x² - 1/a² • x = 0   heißen. Die Gleichung davor wurde durch a dividiert.

Habe es in der Aufgabe korrigiert.

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Dann war das ja doch nicht so schwer!Danke nochmal