Pyramidenzelt Vektoren - Wie groß ist der Eingang EFGH?

Question

Aufgabe Pyramidenzelt:

Ein Zelt hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit 8 m Breite und 3 m Höhe. Den Eingang bildet das Trapez EFGH mit |EF| = 4 m und G bzw. H als Mitten der Strecken \( \overline{ES}\) bzw. \( \overline{FS}\).

a) Wie groß ist der Eingang EFGH?

b) Ein Meter unter der Zeltspitze S befindet sich eine Lichtquelle. Durch den Eingang fällt Licht nach außen und der Schatten der Zeltwand begrenzt so eine beleuchtete Fläche. Wie groß ist sie?

c) Wie ändert sich die beleuchtete Fläche, wenn die Lichtquelle weiter nach oben bzw. weiter nach unten gebracht wird?

Welche Grenzflächen ergeben sich, wenn sich die Lichtquelle in S bzw. in 1,5 m Höhe befindet?

d) In der Mitte der hinteren Zeltkante \( \overline{CD} \) ist auf einer senkrechten Stange eine Kamera angebracht. In welcher Höhe muss sie sich befinden, wenn sie die gesamte beleuchtete Fläche überwachen soll?

Wie löst man Aufgabe a? Bitte nicht nur die Lösung das bringt nicht zum selber lernen und verstehen.

Comments

Ich muss die selbe Aufgabe lösen und komme bei der b) nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?

Ich habe es erst damit versucht die Strecke HE zu spiegeln, aber dann liegt der Punkt H‘ an einer anderen Stelle. Jetzt habe ich keine Idee mehr.

---

Hi,

Kann mir jemand bitte bei der b c und d helfen? Wie gehe ich da vor um die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

E(8 ; -2 ; 0 )   F( 8 ; 2 ; 0 )    S ( 4 ; 0 ; 3 )

also H( 6 ; -1 ; 1,5) und G (6 ;  1 ; 1,5)

Die Mitte von EF ist M( 8 ; 0 ; 0 )

also Strecke MS hat die Länge wurzel aus ( 4^2 + 0^2 + 3^2 ) = √25 = 5

also hat das Dreieck EFS die Höhe 5 und Grundseite 4 also Fläche 10

entsprechend Dreieck HGS berechnen und beide voneinader subtrahieren.

Answer 2

Zur Lösung allgemein und speziell von b): Das Koordinatensystem ist in der Aufgabe nicht vorgegeben. Eine mögliche Wahl (wie auch im Lösungsbuch) ist: A liegt im Ursprung, die Grundfläche ABCD liegt in der xy-Ebene, die Kante AH ist Teil der x-Achse mit H(-8|0|0) (also Einheit 1 m). Nun kann man die Koordinaten der anderen Punkte angeben bzw. berechnen. Die punktförmige Lichtquelle ist dann L( -4 | 4 | 2 ). G' und H' ergeben sich als Schnittpunkte der beiden Geraden LG bzw. LH mit der xy-Ebene. Das Viereck EFG'H' ist ein Trapez, der Abstand der parallelen Seiten ergibt sich direkt aus den Koordinaten, also kann man leicht den Flächeninhalt berechnen. Kontrollergebnis: 24 m² (das hängt natürlich nicht von der Wahl des Koordinatensystems ab).

Answer 3

Ich empfehle bei Problemen sich das Vorzustellen oder auch nur als Kontrollergebnisse sich bei Geogebra eine Skizze zu machen.

Comments

Wieso ist die Fläche 7,5? Strecke EF ist doch 4 und Strecke HG 2. Dann komm ich über die Rechnung 0,5 x (4+2) x 1,5 auf A=4,5 ( 4 für strecke a, 2 für strecke c und 1,5 für die Höhe)

Ist meine Formel für den Flächeninhalt eines Trapez falsch?

---

3 m ist die Pyramide hoch. Das bedeutet aber nicht, dass eine Seitenhöhe 3 m sind. Die Seitenhöhe ist sicher länger, oder?