Ein Integral in Polarkoordinaten darstellen von f(x,y)=ln[(4-x^2-y^2)(x^2+y^2-1)]

Question

Hallo gegeben ist die Funktion f(x,y) =ln[(4-x²-y²)(x²+y²-1)]  der Definitionsbereich ist dann D = {(x,y) ∈ℝ²|(4-x²-y²)(x²+y²-1)>0} . Man soll hier Angeben welches Integral man in Polarkoordianten berechnen muss wenn man die Funktion f über ihren gesamten Definitionsbereich integrieren möchte .

Die Polarkoordinaten lauten ( r*cos(t) , r*sin(t))  wobei r∈[r´,R] mit r´>0 und t∈[0,2π].

WIe würde dieses Integral ausschauen ? Ist es ein Doppelintegral der Form:

$$\int _{ 0 }^{ 2\Pi  }{ dt } \int _{ r´ }^{ R }{ \left( 4-{ r }^{ 2 } \right)  } *\left( { r }^{ 2 }-1 \right) dr$$ ?

ich habe hier benutzt das cos(t)^2+sin(t)^2=1  ist . falls r nicht 1 ist dann einfach r^2 .

Bitte , Danke !

Answer 1

nutze x^2+y^2=r^2

---> f(x,y)=f(r,φ)=ln((4-r^2)*(r^2-1))

Das Argument muss positiv sein,

also (4-r^2)*(r^2-1)>0

--> 1<r<2 (r ist per Definition positiv,die negative Teillösung entfällt)

Das Integral in Polarkoordinaten lautet allgemein

I=∫F(r,φ)*dA=∫dφ∫F(r,φ)*r*dr

hier also mit den Grenzen  φ∈[0,2π] und r∈(1,2)

I=∫₀^2πdφ∫₁² ln((4-r^2)*(r^2-1))*r*dr

(bei mir ist t=φ)