Umkehrfunktion y=ln(2+x)-ln(2x)

Question

Wie berechne ich die Umkehrfunktion von:

y=ln(2+x)-ln(2x)

Durch Umformungen bin ich auf e^y = (2+x)/(2x) gekommen. Wie geht man jetzt weiter vor?

Answer 1

Hi,

e^y = (2+x)/(2x)   |*2x

2xe^y = 2+x       |-x

2xe^y - x = 2

x(2e^y - 1) = 2

x = 2/(2e^y - 1)

Grüße

Comments

x ist hier eine Funktion von y. das ist nicht üblich. Man vertauscht noch x und y und dann ist y eine Funktion von x (f(x), wie üblich).

---

Das kommt oft auf den Lehrkörper an. Ich bevorzuge das von Dir genannte. Meist wird direkt vertauscht und dann erst gerechnet. Hatte mich nur an die Bezeichnung des Fragestellers gehalten.

Danke für die Anmerkung.

---

Kann es sein, dass der Fragesteller das Vertauschen von x und y vergessen hat?

---

Danke für die Antwort. Ich stand hier tatsächlich nur bei der Umformung auf dem Schlauch. Meiner Meinung (und auch der meines Prof.) ist es egal, ob man erst x und y vertauscht um nach y umzuformen, oder nach x umformt und dann x und y vertauscht.

---

Ja, das ist es in der Tat. Da das Vertauschen keine Hexenkunst ist, hab ichs mir auch gespart. So wie ich es kenne wird meist erst vertauscht und dann gerechnet oder man lässt es gleich bleiben. Wie es einem bliebt.

Wenn man es aber dann doch vertauschen will...steht da niemand im Wege :).

---

Wenn ich eine Funktion y(x) habe dann bilde ich auch meist die Umkehrung das ich am Ende x(y) dort stehen habe.

Die eigentliche Umkehrfunktion benennt man aber wieder mit y(x). Da dann aber nur die Unbekannten ausgetauscht werden lasse ich das hier im Forum auch meist weg. Dazu sollte jeder Schüler auch selber in der Lage sein.

Das dient auch meiner Meinung, dass der Fragesteller noch etwas mitdenken muss und nicht einfach nur die Lösung abschreibt. Denn abschreibfertige Lösungen wollen wir hier eigentlich nicht produzieren die der Fragesteller ohne Nachzudenken abschreiben kann.

Aus dem Grund lasse ich z.B. auch die Äquivalenzstriche weg. Da kann der Fragesteller dann selber überlegen wie umgeformt wurde.

y = LN(2 + x) - LN(2·x)

Logarithmengesetze nachschlagen, wenn das nicht klar ist

y = LN((2 + x)/(2·x))

e^y = (2 + x)/(2·x)

e^y = 2/(2·x) + x/(2·x)

e^y = 1/x + 0.5

1/x = e^y - 0.5

x = 1/(e^y - 0.5)

x = 2/(2·e^y - 1)

Wie gesagt ist das nur die Umkehrung und nicht die Umkehrfunktion. Um daraus die Umkehrfunktion zu machen sollte der Fragesteller selbst noch etwas Hand anlegen. Aber da der letzte Schritt trivial ist bin ich der Meinung das man den auch hier weglassen kann. Schon in der 8 Klasse lernt man das Funktionen immer mit y = oder mit f(x) = beginn. Wobei für f meist auch ein anderer Funktionsbuchstabe genommen werden kann. Weiterhin kann eigentlich auch die Funktionsvariable umbenannt werden. So lautet die Funktion einer Bewegungsgleichung in der Physik z.B. s(t) =

Wenn man also sowohl abhängige als auch unabhängige Variablen selbst benennen darf, könnte man eigentlich auch x(y) = schreiben. Auch, wenn das in diesem Zusammenhang unüblich ist.