Question

Vom Punkt P(0/-1) werden Tangenten an die Parabel

p: y= x² - 2x -3/4

gelegt. Bestimmen Sie Gleichungen und Berührpunkte der Tangenten. Was mache ich falsch?

=> gesucht: Punkt Q (a / a²-2a-3/4 )

                      Tangente: y= m * x + t

m = p'(a) = 2a-2

     => y = 2a-2 * x + t

-1 = 2a-2 * 0 + t

     => t= -1

y = 2a-2x -1

Q einsetzen:

a² - 2a - 3/4 = 2a - 2a -1

auflösen = a1 = 1,87

                    a2 = 0,13

Was soll ich nun mit diesen zwei a ? 

Answer 1

> y = 2a-2 * x + t

Du hast Klammern vergessen. Richtig ist y = (2a-2) * x + t

> Was soll ich nun mit diesen zwei a ?

Das eine setzt du in die Gleichung y = (2a-2)x -1 ein. Dadurch bekommst du die Gleichung einer Tangente.

Das andere setzt du in die Gleichung y = (2a-2)x -1 ein. Dadurch bekommst du die Gleichung einer weiteren Tangente.

Comments

Danke, hat mir schon mal sehr weitergeholfen. Aber ich habe in diesem Fall nur eine Tangente die durch den Punkt P(0/-1) geht und die Parabel schneidet, da ich eine doppelte Nullstelle für a rausbekomme, nämlich a1,a2 = 0,5

Die einzige Tangente die die Parabel berührt ist daher y= -x -1

Ist das so richtig ?

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> doppelte Nullstelle für a

Welche Gleichung hast du dazu gelöst?

Nullstellen der Parabel bekommst du indem du x² - 2x -3/4 = 0 löst. Da kommt kein a drin vor und 0,5 ist keine Lösung dieser Gleichung.

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Ich meinte, dass ich in die Gleichung

y= (2a-2)x - 1  den Punkt Q eingesetzt habe und so die beiden a: 0,5 bekommen habe.

 ( Das hat natürlich nichts mit Nullstellen zu tun (mein Fehler))

Die beiden a habe ich dann in

y= (2a-2)x-1 eingesetzt und bin so auf

y= -x -1 gekommen.

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> y= (2a-2)x - 1  den Punkt Q eingesetzt habe

Das ist der richtige Weg.

> und so die beiden a: 0,5 bekommen habe.

Dann hast du dich verrechnet. Korrekt ist a₁=0,5, a₂ = -0,5.

Bonusfrage: Wo muss der Punkt P liegen, damit es eine einzige Tangente gibt?

Bonusfrage (die zweite): Wo muss der Punkt P liegen, damit es keine Tangente gibt?

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Eine Tangente an die Parabel gibt es am Scheitelpunkt, also S(1/-1,75).

Und garkeine, wenn der Punkt innerhalb der Parabel liegt.

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> Eine Tangente an die Parabel gibt es am Scheitelpunkt, also S(1/-1,75).

Allgemeiner, eine Tangete gibt es, wenn der Punkt auf der Parabel liegt.

> Und garkeine, wenn der Punkt innerhalb der Parabel liegt.

Ich vermute du meinst das richtige.

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Ah okay, das stimmt natürlich, dass jeder Punkt auf der Parabel nur eine Tangente hat, nicht nur der Scheitelpunkt.
Wie könnte man korrekt antworten, wenn speziell bei dieser Aufgabe gefragt werden würde, für welche Punkte es keine Tangenten an die Parabel gibt?

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Bei nach oben geöffneten Parabeln muss der Punkt oberhalb der Parabel liegen, bei nach unten geöffneten Parabeln muss er unterhalb liegen.

Das funktioniert allerdings nur dann, wenn man Parabeln (wie in der Schule üblich) als Funktionsgraph einer quadratischen Funktion charakterisiert.

Eine allgemeinere Charakterisierung ist folgende. Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt B der nicht auf g liegt.Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die von B den gleichen Abstand hat wie von g. Dann könnte man sagen, es gibt genau dann keine Tangente durch einen Punkt P, wenn P auf der selben Seite der Parabel liegt wie der Punkt B.

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Halo Alpi. eine Parabelkurve K zerlegt die Ebene in drei Punktmengen: (I) die Punkte der Parabelkurve selbst, (II) die Punkte, die im Inneren (also in Krümmungsrichtung) der Parabelfläche liegen und (III) die Punkte, die außerhalb der Parabelfläche liegen.

Liegt P in (I), gibt es keine Tangente, liegt P in (II), gibt es genau eine Tangente, und liegt P in (III), gibt es genau zwei Tangenten durch den Punkt P an die Parabel K.