Normalform in Scheitelpunktform bekommen. y=0,5x^2+2x-6

Question

Ich muss die Gleichung y=0,5x^2+2x-6 in die Scheitelpunktform bekommen.

Danke

Answer 1

y= 0,5·x² + 2x - 6

0,5 teilweise ausklammern:

y = 0,5 · [ x² + 4x ] - 6

quadratisch ergänzen  [ + (halber Faktor bei x)² und gleich wieder "aufheben" ] : 

y = 0,5 · [ x² + 4x + 2² - 4 ] - 6

1.binomische Formel:

y = 0,5 · [ (x + 2)² - 4 ] - 6

[...] ausmultiplizieren:

y = 0,5 · (x + 2)² - 2  - 6

y = 0,5 · (x + 2)² - 8    →  S(-2|-8)

Gruß Wolfgang

Answer 2

\(y= 0,5·x^2 + 2x - 6   | \cdot 2\)

\(2y= x^2 + 4x -12      | +12\)

\(2y+12= x^2 + 4x  \)  quadratische Ergänzung :

\(2y+12+(\frac{4}{2})^2= x^2 + 4x+ (\frac{4}{2})^2 \)

\(2y+12+4= x^2 + 4x+4 \)   1. Binom:

\(2y+16= (x+2)^2     |-16        \)

\(2y= (x+2)^2 -16   |:2       \)

\(y= \frac{1}{2}(x+2)^2 -8        \)

\(y= 0,5(x+2)^2 -8        \)

Comments

Warum "mal 2" und dann wieder "durch 2" ?

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Das kommt einem Ausklammern von 0,5 (siehe andere Antwort) gleich. Insofern ist die Antwort an sich auch nur ein Duplikat der anderen. Der Rechenweg weicht nur geringfügig ab, die quadr. Ergänzung nutzen aber beide.

Answer 3

Sehr oft sind bei quadratischen die Nullstellen und der Scheitelpunkt auszurechnen. Das macht man später eigentlich nie mit der quadratischen Ergänzung, sondern z.B. mit der pq-Formel.

Ich empfehle dann zunächst sich den Nullstellen zu widmen.

f(x) = 0.5·x^2 + 2·x - 6 = 0     | ·2
x^2 + 4·x - 12 = 0     | pq-Formel
x = - 2 ± √(4 + 12) → x = - 6 oder x = 2

Wichtig ist, dass man so nicht nur die Nullstellen hat, sondern auch bereits die x-Koordinate vom Scheitelpunkt. Das wäre hier die - 2 am Anfang der pq-Formel. D.h. braucht man nicht die Nullstellen, lässt man deren Berechnung nach der pq-Formel einfach weg.

Sx = - 2

Um die y-Koordinate vom Scheitelpunkt zu berechnen, kann man die x-Koordinate einfach in die Funktion einsetzen.

Sy = f(Sx) = f(- 2) = 0.5·(- 2)^2 + 2·(- 2) - 6 = - 8

Jetzt hat man den Scheitelpunkt und kann zusammen mit dem Öffnungsfaktor von a = 0.5 direkt die Scheitelpunktform notieren.

f(x) = 0.5·(x + 2)^2 - 8

Sobald man also die pq-Formel benutzen darf, ist dieser Weg meist deutlich einfacher, schneller und weniger fehleranfällig als die quadratische Ergänzung.