Aufgabe zur Anfangswertproblematik

Question

Bestimmen Sie für jedes \( { y }_{ 0 }∈ ℝ \)  die Lösung der Anfangswertaufgabe $$ y'=\frac { 1 }{ 2 }{ y }^{ 3 }sin(x),\quad\quad y(0)={ y }_{ 0 }. $$ Geben Sie dabei jeweils auch den maximalen Definitionsbereich an.

Lösung:

$$ \frac { dy }{ dx }=\frac { 1 }{ 2 }{ y }^{ 3 }sin(x) $$
$$ \frac { dy }{ { y }^{ 3 } }=\frac { 1 }{ 2 }sin(x)\quad dx =>$$
$$ \int_{{ y }_{ 0 }}^{{ y }_{ 1 }}\frac { 1 }{ { y }^{ 3 } }=\int_{ 0 }^{{ x }_{ 1 }}\frac { 1 }{ 2 }sin(x)\quad $$
$$ { \left[ \ln { ({ y }_{ 1 }^{ 3 } } ) \right]  }_{ { y }_{ 0 } }^{ { y }_{ 1 } }\quad =\quad { \left[ -\frac { cos(x) }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ x_{ 1 } } $$
$$ \ln { ({ y }_{ 1 }^{ 3 } } )-\ln { ({ y }_{ 0 }^{ 3 } } )\quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \cos { { (x }_{ 1 }) } -(-\frac { 1 }{ 2 } \cos { (0) } ) $$
$$ \ln { ({ y }_{ 1 }^{ 3 } } )= -\frac { 1 }{ 2 } \cos { { (x }_{ 1 }) } +\frac { 1 }{ 2 } +\ln { ({ y }_{ 0 }^{ 3 } } ) $$
$$ 3\ln { ({ y }_{ 1 } } )= -\frac { 1 }{ 2 } \cos { { (x }_{ 1 }) } +\frac { 1 }{ 2 } +\ln { ({ y }_{ 0 }^{ 3 } } ) $$
$$ \ln { ({ y }_{ 1 } } )= -\frac { 1 }{ 6 } \cos { { (x }_{ 1 }) } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { \ln { ({ y }_{ 0 }^{ 3 } } ) }{ 3 }   $$
$$ \ln { ({ y }_{ 1 } } )= -\frac { 1 }{ 6 } \cos { { (x }_{ 1 }) } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 3\ln { ({ y }_{ 0 } } ) }{ 3 }   $$
$$ \ln { ({ y }_{ 1 } } )= -\frac { 1 }{ 6 } \cos { { (x }_{ 1 }) } +\frac { 1 }{ 6 } +\ln { ({ y }_{ 0 } } ) $$
$$ { y }_{ 1 }\quad=\quad { e }^{ -\frac { 1 }{ 6 } \cos { { (x }_{ 1 }) }  }+{ e }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }+{ y }_{ 0 } $$

Ist meine Rechnung soweit in Ordnung? Was fehlt genau?

Answer 1

Meine Berechnung:

maximaler Definitionsbereich:

cos(x) -1 +1/y₀² >0

Comments

Muss man bei der Aufgabe gar keinen speziellen Wert für y0 bestimmen, sondern es geht nur darum es nach C aufzulösen?

Answer 2

Wie integriert man denn y^-3 ?  Nicht schön !!!

Comments

Ist f(x)=1/x nicht F(x)=ln(x)?

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Ach, hab den Fehler schon entdeckt. Werde ihn mal gleich korrigieren.

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$$ y'=\frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 3 }\sin { (x) } ,\quad \quad y(0)={ y }_{ 0 }.\\ ...\\ { \left[ -\frac { 1 }{ 2{ y }^{ 2 } }  \right]  }_{ { y }_{ 0 } }^{ { y }_{ 1 } }={ \left[ -\frac { \cos { (x) }  }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ x_{ 1 } }\\ -\frac { 1 }{ 2{ y }_{ 1 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2{ y }_{ 0 }^{ 2 } } =-\frac { \cos { ({ x }_{ 1 }) }  }{ 2 } -(-\frac { \cos { (0) }  }{ 2 } )\\ -\frac { 1 }{ 2{ y }_{ 1 }^{ 2 } } =-\frac { \cos { ({ x }_{ 1 }) }  }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2{ y }_{ 0 }^{ 2 } } \\ -\frac { 1 }{ { y }_{ 1 }^{ 2 } } =-\cos { ({ x }_{ 1 }) } +1-\frac { 1 }{ { y }_{ 0 }^{ 2 } } \\ -{ y }_{ 1 }^{ 2 }\quad ={ \quad y }_{ 1 }^{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ -\cos { ({ x }_{ 1 }) }  } +1-{ y }_{ 0 }^{ 2 }\\ \\ { \quad y }_{ 1 }\quad =\quad \sqrt { \frac { 1 }{ -\cos { ({ x }_{ 1 }) }  } +1-{ y }_{ 0 }^{ 2 } } \quad \vee \quad -\sqrt { \frac { 1 }{ -\cos { ({ x }_{ 1 }) }  } +1-{ y }_{ 0 }^{ 2 } }  $$

Wäre das so richtig?