Frage zu einer Integral Aufgabe, Sachzusammenhang?

Question

Hey

Aufgabenstellung:

Gewinn eines Unternehmens

Ein Unternehmen prognostiziert den erwarteten Gewinn/Verlust der nächsten 12 Monate Anhand dieser Funktion:

f(x)= x³ -18x² +81x +30

Ein zweites Unternehmen geht von einer gleichmäßigen (linearen) Entwicklung aus. Die Prognosen beider Institute stimmen zu Beginn (x=0) und Ende (x=12) des Zeitraumes überein.

a) Skizziere den Graphen und berechne den Funktionsterm.

Meine Lösung:

g(x)= ax +b

f(0)= 30 ---> b=30

f(12)= 138 ---> 12a + (30) = 138 ---> a=9

g(x)= 9x+30

 Soooooo und jetzt mein Problem

b) Berechne ₀∫¹²  (f(x)-g(x))dx und bewerte das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Ich weiß dass mir ein Integral die Flächendifferenz ausrechnet und nicht die gesamte Fläche, aber ich verstehe nicht, warum das Ergebnis von g(x) dem von f(x) gleicht, um damit anzufangen?

Wenn ich die Integrale unabhängig von einander ausrechne kommt jeweils 1008 raus.

Wenn ich aber beide Funktionen in das Integral einsetze und “minus-mache“

₀∫¹²  (f(x)-g(x))dx

₀∫¹² ((x³ -18x² +81x +30)-(9x+30))

kommt 1.1224 x10 ^-11  raus. Was anders ausgedrückt 0.000000000011.. ist. Der Unterschied ist so gering, dass man es auf 0 runden kann, aber warum? Es MUSS 0 rauskommen, wenn ich 1008 von1008 abziehe?

Ich sitze so lange dran und versteh es nicht >.<

Also meine Fragen zsmgefasst:

Warum kommt da das selbe Ergebnis? (Obwohl beide Funktionen nur 2 punkte gemein haben)

Warum kommt bei der einen Rechenart 0.0...011 raus obwohl es unabhängig voneinander ausgerechnet Null sein muss?

Danke für jede Antwort

Answer 1

die beiden Funktionen haben noch einen 3. Schnittpunkt  bei x = 6 .

In [0;6] ist dein Integral positiv, weil der Graph des 1.Summanden deines Integrals oberhalb des zweiten verläuft. In [6;12] ist das Integral negativ, weil dort der 2. Summand oben verläuft. Die beiden Anteile sind betragsmäßig gleich und heben sich zu 0  auf.

Das Integral gibt den Durchschnittswert der Differenz der beiden Gewinnprognosen in [0;12] an. da dieser gleich 0 ist, stimmen beide Gewinnprognosen für diesen Zeitraum überein.

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x) = x^3 - 18·x^2 + 81·x + 30

m = (f(12) - f(0))/(12 - 0) = 9

g(x) = 9·x + 30

∫ (0 bis 12) (x^3 - 18·x^2 + 81·x + 30 - (9·x + 30)) dx = 0

Das bedeutet das die beiden Flächen, die die Graphen umschließen exakt gleich groß sind. Ich würde mal annehmen die Lineare Funktion geht exakt durch den Wendepunkt der Kubischen Funktion.

Im Sachzusammenhang bedeutet das, das beide Prognose den gleichen Gewinn für den 12 Monatszeitraum vorhersagen.

~plot~ x^3-18x^2+81x+30;9x+30;[[0|12|0|200]] ~plot~