Bergwerksstollen: Prüfen Sie, ob die Ingenieure richtig gerechnet haben und die Stollen sich wie geplant ...

Question

Aufgabe:

Vom Punkt A (-7 I -3 I -8) ausgehend soll durch den Punkt B(-2 I 0 I -9) ein geradliniger Stollen nahmens Kuckucksloch in einen Berg getrieben werden. Ebenso soll ein Stollen namens Morgenstern von Punkt C (4 I -6 I -6) ausgehend über den Punkt D (7 I -1 I -8) geradlinig gebaut werden. Eine Einheit entspricht 100m. Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene.

a) Prüfen Sie, ob die Ingenieure richtig gerechnet haben und die Stollen sich wie geplant in einem Punkt S treffen.

b) Im Stollen Kuckucksloch kann die Bohrung um 5 m pro Tag vorangetrieben werden. Wie hoch muss die Bohrleistung im Stollen Morgenstern durch C und D sein, damit beide Stollen am selben Tag den Vereinigungspunkt S erreichen?

c) Von Punkt S aus wird der Stollen Kuckucksloch weiter in Richtung [2 , 1 , 2 ] fortgesetzt. In welchem Punkt P erreicht der Stollen die Erdoberfläche?

d) In 1200 m Entfernung von Punkt P auf der Strecke SP soll ein senkrechter Notausstieg gebohrt werden. An welchem Punkt der Erdoberfläche muss die Bohrung beginnen? Wie tief wird die Bohrung sein?

Ansatz/Problem:

Es reicht, wenn jemaand kurz rüber schaut und es kontrolliert. Es sind nur Lösungen dabei...

a) Die Stollem treffen sich wie geplant im Punkt S (13 I 9 I -12).

b) Die Bohrleistung beträgt 3,91 m/Tag.

c) Der Punkt P lautet P( 25I 15I 0).

d) Der Punkt lautet: Q (17 I 11 I 0). Die Bohrung wird 800 m tief sein.

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Vom Duplikat:

Titel: Zwei Stollen in einem Berg - Treffen sie sich?

Stichworte: anwendung,spurpunkte,vektoren

Spurpunkte und Anwendungen

Bergwerksstollen

Vom Punkt A (-7|-3|-8) ausgehend soll durch den Punkt B (-2|0|-9) ein geradliniger Stollen namens Kuckusloch in einen Berg getrieben werden. Ebenso soll ein Stollen namens Morgenstern von Punkt C (4|-6|-6) ausgehend über den Punkt D (7|-1|-8) geradlinig gebaut werden. Eine Einheit entspricht 100 m. Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene.

a) Prüfen Sie, ob die Ingenieure richtig gerechnet haben und die Stollen sich wie geplant in einem Punkt S treffen.

b) Im Stollen Kuckucksloch kann die Bohrung um 5 m pro Tag vorangetrieben werden. Wie hoch muss die Bohrleistung im Stollen Morgenstern durch C und D sein, damit beide Stollen am selben Tag den Vereinigungspunkt S erreichen?

c) Von Punkt S aus wird der Stollen Kuckusloch weiter in Richtung \( \begin{pmatrix} 2\\ 1\\2\end{pmatrix} \) forgesetzt. In welchem Punkt P erreicht der Stollen die Erdoberfläche?

d) In 1200 m Entfernung von Punkt P auf der Strecke \(\overline{SP}\) soll ein senkrechter Notausstieg gebohrt werden. An welchem Punkt der Erdoberfläche mus die Bohrung beginnen? Wie tief wird die Bohrung sein?

  Hi Leute ich hätte da mal eine Frage... Ich habe hier eine Aufgabe als Vorbereitung für meine klausur morgen und ich komme bei a) nicht weiter. Also ich verstehe sie und weiß auch wie ich rechnen muss. Aber unser Lehrer hat in seinem losungsbuch die Lösung r = 4 und s = 3 raus... Ich bekomme bei der Rechnung aber was völlig anderes raus... Immer kommazahlen und nie die glatten Ergebnisse... Hab die Aufgabe mal abfotografiert... Geht wirklich nur um Aufgabe 14 a). Der Rest bitte nicht, weil ich selber probieren will auf die Lösung zu kommen :D im übrigen: ich habe gerade AB gebildet und CD und dann gleichgesetzt. So entstehen halt 3 Gleichungen.

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wie bist du bei der c) auf den Punkt gekommen, denn meine Geradengleichung von S und dem Vektor v lautet g:x= (13/9/-12)+r(-11/-8/14). Mein Ansatz war z=0 zu setzen also dann -12+14r=0. Dann kriege ich aber für r 6/7 raus. Was habe ich falsch gemacht, denn ich habe etwas anderes als du raus?

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d) In 1200 m Entfernung von Punkt P auf der Strecke SP soll ein senkrechter Notausstieg gebohrt werden. An welchem Punkt der Erdoberfläche muss die Bohrung beginnen? Wie tief wird die Bohrung sein?

ich habe Probleme, die d) zu lösen. Ich hab mir jetzt etliche Ansätze im Internet durchgelesen und ausprobiert und jedes Mal bin ich auf ein falsches Ergebnis gekommen. Zu erst habe ich die Geradengleichung von SP bestimmt. Diese lautet g:x= (13/9/-12)+r(12/-12/12). Das Problem nun, um den Punkt N zu bestimmen, der ja 1200m entfernt ist, muss ich doch für r 12 einsetzen, oder? Ich habe im Internet irgendwo gelesen, dass man für den Punkt N= p+1,2*(2/1/2) rechnen soll, aber da kommt nicht das eigentliche Ergebnis raus, welches (12/11/0) ist. Die Tiefe beträgt außerdem 800m.

Meine Frage konkret lautet, wie kann ich einen Punkt auf einer Gerade bestimmen, wenn ich nur den Abstand (1200m) habe? Die Gleichung habe ich ja.

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Du sollst nicht den Richtungsvektor (-11/-8/14) sondern den Richtungsvektor (2, 1, 2) nehmen.

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Ich habe bei a) die geradengleichungen raus:

gAB: x= (-7|-3|-8)+r(5|3|-1)

hCD: x= (4|-6|-6)+s(3|5/-2)

Ich weiß auch dass sie sich schneiden durch Gleichsetzung aber wenn ich das Gleichungssystem aufstelle finde ich irgendwie keinen Weg ihn aufzulösen. Kann mir da jemand bitte schrittweise erklären wie er/sie das macht?

Bei b) und c) wäre ne Erklärung, keine Lösung, auch super!

(Mein Gleichungssystem)

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wie kommt man auf den Punkt Q(17/11/0) ?

Answer 1

Herzlichen Glückwunsch. Alle Ergebnisse sind richtig. Ich bin stolz auf dich.

Comments

Wie kommt man auf b und d

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Dabei ist das ja fast einfacher als der Rest vorher.

d)

[25, 15, 0] - 12·[2, 1, 2]/|[2, 1, 2]| = [17, 11, -8]

Die Bohrung muss im Punkt (17 | 11 | 0) beginnen und wird 800 m tief sein.

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Kannst du mir vielleicht erklären, wie du auf diese Rechnung kommst. Ich kann sie nämlich überhaupt nicht nachvollziehen xd

Wieso nimmst du den Vektor * 12 und teilst ihn dann durch seinen Betrag.

LG

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Ich teile den Vektor durch seinen Betrag um ihn auf die Länge 1 LE = 100 m zu normieren.

Dann nehme ich ihn mal 12 um ihn auf die Länge von 1200 m zu bringen.

Der Punkt lautet (17 | 11 | 0). Meine Rechenapp hat wohl irgendwie vorhin aus dem Minus ein Plus gemacht.

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Achsoo, also könnte eigentlich auch einfach den Betrag ausrechnen und eine Gleichung wie zB. hier ist der Betrag ja 3

3 * x = 12

x = 4

Und dann den Vektor mal 4 nehmen. Wäre das auch so in Ordnung ?

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Ja. Das geht auch.

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Ausgeschrieben würde das dann so aussehen oder?

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Ja. Und letzten endes musst du das jetzt noch vom Ortsvektor P subtrahieren.

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@Lena7 würde ich auch gerne wissen bei der d). Ich habe mir jetzt zahlreiche Ansätze angeschaut und habe immer noch etwas falsch. Kann das jemand bitte vorrechnen oder wenn dann VERSTÄNDLICH erklären???

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Du suchst zunächst denjenigen Punkt zwischen P und S, der von P die Entfernung 1200 m hat.

Du kannst dazu von P aus 1200 m auf dem Richtungsvektor PS entlanglaufen. Das sieht rechnerisch so aus

N = P + 12/|PS| * PS

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@Der_Mathecoach okay also ich habe es versucht. N= p+12/PS* PS

Ich habe erst den Vektor von PS bestimmt (25/15/0)-(13/9/(-12))= (12/6/12). So kann ich dann den Betrag einfacher berechnen. Ich habe die Abstandsformel benutzt und 18 rausbekommen. Dann habe ich die Werte eingesetzt.

(25/15/0) + 12/18* (12/6/12) = (33/19/8) Das ist aber wieder falsch.

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Ich habe erst den Vektor von PS bestimmt (25/15/0)-(13/9/(-12))= (12/6/12)

Das ist nicht \( \vec{PS} \), sondern \( \vec{SP} \)

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Okay, ich habe meinen Fehler gefunden, und zwar hatte ich eine falsche Geradengleichung. Die Richtige lautet g:x= (25/15/0)*r(-12/-6/-12)

N= (25/15/0)+12/18*(-12/-6/-12) = (17/11/-8)

Danke dir @Der_Mathecoach

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Du musst ja die Geraden gleichsetzen

[-7, -3, -8] + r·[5, 3, -1] = [4, -6, -6] + s·[3, 5, -2]

3·r - 3 = 5·s - 6
-r - 8 = - 2·s - 6

II + 3*III

-27 = -s - 24 --> s = 3

-r - 8 = - 2·(3) - 6 --> r = 4

Mache jetzt die Probe indem du r und s einsetzt und beide Seiten der Gleichung berechnest. Es sollte auf beiden Seiten den Schnittpunkt ergeben.

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Wie kommt man auf die Aufgabe c?

Answer 2

1. Geradengleichungen aufstellen

Gerade AB: (x|y|z) = (-7|-3|-8) + r₁·(5|3|-1)

Gerade CD: (x|y|z) = (4|-6|-6) + r₂·(3|5|-2)

Dann Schnittpunkt S berechnen:

2. Geradengleichungen gleichsetzen

AB = CD

(-7|-3|-8) + r₁·(5|3|-1) = (4|-6|-6) + r₂·(3|5|-2)

3. Die drei Gleichungen als LGS aufstellen

I: -7 + r₁·5 = 4 + r₂·3 →  5·r₁ - 3·r₂ = 11

II: -3 + r₁·3 = -6 + r₂·5 →  3·r₁ - 5·r₂ = -3

III: -8 + r₁·(-1) = -6 + r₂·(-2) → ... (es reichen I und II)

LGS lösen mittels der ersten 2 Gleichungen via LGS-Löser oder schriftlich.

Ergebnisse: r₁ = 4 und r₂ = 3

Aussage: Ein Schnittpunkt existiert.

4. Dieses Ergebnis in eine Geradengleichung einsetzen: 

AB: (x|y|z) = (-7|-3|-8) + r₁·(5|3|-1)

AB: (x|y|z) = (-7|-3|-8) + 4·(5|3|-1) = (-7+20| -3+12 | -8-4) = (13|9|-12)

S(13|9|-12)

5. 3D-Zeichnung via Geoknecht erstellen und Lösung grafisch prüfen! 

Stimmt, hier 3D-Zeichnung aufrufen. Sieht so aus:

Hoffe, das hilft.

Answer 3

a)

Geradengleichungen aufstellen und gleichsetzen. Du solltest auf den Schnittpunkt S(13|9|-12) kommen.

b)

Berechne die Beträge von \( \vec{AS} \) und \( \vec{CS} \).  Du solltest für | \( \vec{AS} \) | auf ca. 2366m und für | \( \vec{CS} \) | auf etwa 1849m kommen. Da folglich die Bohrung beim Stollen Kuckucksloch etwa 473 Tage dauert, muss im Stollen Morgenstern mit

473x = 1849
x = 3.91
3.91m/Tag gearbeitet werden.

c) Stelle die Geradengleichung zwischen mit dem Punkt S und dem \( \vec{v} \)  = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \) auf und setze im Folgenden den z(x₃) - Wert gleich Null. Du solltest für den Paramter der Geraden zB r, 6 rausbekommen, setze ihn in die Geradengleichung ein. Der Stollen erreicht die Erdoberfläche im Punkt P(25|15|0)

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wieso hat man bei b) dafür A für S gewählt? Hätte man auch BS und DS wählen können?

Danke für die Antwort.

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Schau dir das hier mal an:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stollen_(Bergbau)

Vielleicht erklärt es das ja.

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wie bist du bei der b auf diese Längen gekommen? Ich habe für AS = 14,035 und da eine Einheit gleich 100m ist, muss man doch mal 100 machen. Das ergibt dann 1403,56 m und für CS habe ich 1081,66m raus. Ich weiß nicht, was ich da falsch gemacht habe. Hier nochmal mein Rechenweg: A(-7/-3/-8), C(4/-6/-6), S(2/1/2). Um den Betrag von AS zu berechnen, benutze ich die Abstandsformel. √(2-(-7))²  +(1-(-3))²  +(2-(-8))²  = 14,035. Dasselbe habe ich mit CS getan.

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Scheint, als wäre dein Punkt S nicht richtig. Zumindest habe ich ja offensichtlich damals etwas anderes rausbekommen. Überprüf das vielleicht nochmal bei dir.

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Stimmt, hab es auch gerade gemerkt.

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Wie kommt man auf die Aufgabe c?

Answer 4

Ja, ja, spotte nur!

zu b) Du berechnest die Längen der Vektoren AS und CS und multiplizierst die Ergebnisse mit 100. Dann kennst du Strecken bis zum Schnittpunkt. Die Länge AS teilst du durch 5 m und erhältst 473,2 Tage. Die Strecke CS teilst du durch die Tage und erhältst als Ergebnis 3,91.

Gruß, Silvia

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Danke sehr, das habe ich jetzt verstanden aber aufgabe d) macht mir noch probleme

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In 1200 m Entfernung von Punkt P auf der Strecke SP soll ein senkrechter Notausstieg gebohrt werden. An welchem Punkt der Erdoberfläche mus die Bohrung beginnen? Wie tief wird die Bohrung sein?

Du berechnest zunächst die Länge der Strecke SP (= 1.800 m) und ziehst davon die 1.200 m ab. Der Punkt ist also 600 m = 6 LE entfernt.

In die Abstandsformel eingesetzt sieht das so aus:

$$\sqrt{144r^2+36r^2+144r^2}=6$$

Auflösen nach r ergibt \(r=\pm \frac{1}{3}\)

1/3 für r in die Geradengleichung aus c) einsetzen und die Koordinaten des Punktes unter der Erde damit bestimmen = (17|11|-8). Mache die z-Koordinate zu 0, weil der Punkt auf der xy-Ebene liegt. 8 = 800 ist dann die Tiefe.

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Danke für die mühe hab das aber anders gelöst jetzt

Hab einfach direkt den Vektor mit seinem Betrag geteilt dann mit 12 multipliziert und Minus P gerechnet.