Hilfe bei der Berechnung der Determinante

Question

Ich habe hier diese Matrix und möchte die Determinante berechnen:

\( \left|\begin{array}{cccc}1 & -3 & -2 \\ 0 & 14 & 10 \\ 0 & 13 & 3\end{array}\right| \)

Die Determinante davon ist genau -88. Mein Problem ist nun das folgende: Eine der Determinantenregeln besagt, dass wenn man eine Zeile mit einem Skalar multipliziert, dann auch die Determinante mit diesem Skalar multipliziert werden muss.

Multipliziert man mun die zweite Zeile mit 13 und die dritte Zeile mit 14 ergibt sich:

\( \left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & -2 \\ 0 & 182 & 130 \\ 0 & 182 & 42\end{array}\right| \)

Dann kann man nämlich das -1fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile addieren und erhält:

\( \left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & -2 \\ 0 & 182 & 130 \\ 0 & 0 & -88\end{array}\right| \)

Wie berechne ich jetzt die Determinante?? Normalerweise müsste ich ja die Werte der Diagonalen multiplizieren und dann das ganze noch mit 13*14 multiplizieren, aber da kommt ja ein ganz andere Wert als -88 raus.

Was mache ich falsch?

Answer 1

DET([1, -3, -2; 0, 14, 10; 0, 13, 3]) = -88

Wir multiplizieren die 2. Zeile mit 13

DET([1, -3, -2; 0, 182, 130; 0, 13, 3]) = -88 * 13 = -1144

Wir multiplizieren die 3. Zeile mit 14

DET([1, -3, -2; 0, 182, 130; 0, 182, 42]) = -88 * 13 * 14 = -16016

Ich addiere zur 3. Zeile das -1 fache der zweiten

DET([1, -3, -2; 0, 182, 130; 0, 0, -88]) = 1 * 182 * -88 = -16016 = -88 * 13 * 14

Du musst die neue Determinante also nur durch 13 und 14 teilen und kommst zu -88. Du darfst nicht multiplizieren.

Comments

Aber was anderes. Warum entwickelst du nicht die erste Matrix nach der ersten Spalte

DET([1, -3, -2; 0, 14, 10; 0, 13, 3]) = 1 * DET([14, 10; 13, 3]) = 14 * 3 - 13 * 10 = -88

Ich denke das wäre deutlich einfacher und schneller.

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Das dürfte tatsächlich die schönste Methode sein. Vorher kann man dann noch schnell die dritte Spalte von der zweiten abziehen, sodass man nur noch 4*3 - 10*10 berechnen muss.

[ich habe bewusst die Spalten subtrahiert: Würde man die dritte Zeile von der zweiten abziehen, müsste man 13*7 rechnen – dauert eine (halbe) Sekunde länger als 10*10 und 4*3 ;) ]

Answer 2

Hi,

ich sehe nicht genau was Du machen willst? Mit der Regel von Sarrus ist die Sache in Sekunden erledigt.

Hauptdiagonale und alle "Parallelen" addiert -> 1*14*3+(-3)*10*0+(-2)*0*13

Nebendiagonale und alle "Parallelen" addiert -> 0*14*(-2)+13*10*1+3*0*(-3)

 

Nun beides voneinander abziehen (Hauptdiagonale und Co. - Nebendiagonale und Co.)

1*14*3-13*10*1 = -88

 

Fertig ist die Sache.

 

Das ganze etwas mathematischer ausgedrückt -> https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

Grüße

Comments

Ich möchte gerne wissen wo mein Fehler ist. Genrell ist es natürlich mit deinem Ansatz klar, aber wo ist der Fehler auf meinem weg??

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Hm... und mit dem Entwicklungssatz kann man es im Kopf rechnen...

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Den Sarrus kannste nicht im Kopf anwenden?


@Anonym#1: Siehe die anderen Antworten ;).

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Regel von Sarrus geht natürlich hier genauso gut im Kopf. Die Summanden die Null sind fallen ja eh weg.
Trotzdem denke ich der Entwicklungssatz ist noch etwas einfacher, weil man nicht lange schauen muss. Bei Regel von Sarrus geht man ja viel zu viele Elemente durch, auch wenn man merkt das die Null werden.

Answer 3

Du musst nicht multiplizieren, sondern dividieren, da Deine Determinante sonst um den Faktor 13*14 zu groß ist.

Comments

Aber gibt es nicht eine Determinantenregel, die besagt, dass wenn ich eine Zeile mit einem Skalar multipliziere, dann muss ich auch die Determinante mit diesem Skalar multiplizieren?

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Aber gibt es nicht eine Determinantenregel, die besagt, dass wenn ich eine Zeile mit einem Skalar multipliziere, dann muss ich auch die Determinante mit diesem Skalar multiplizieren?

Nein, so gilt das nicht. Wenn Du eine Zeile oder Spalte der Matrix mit k multiplizierst, ist die Determinante der neuen Matrix k mal so groß. Du willst aber die Determinante der alten Matrix haben, also musst Du die neue Determinante durch k teilen.

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Danke, der obige Kommentar war sehr hilfreich!