Skalarprodukt Definition und Sinn

Question

Was sagt mir das Skalarprodukt? Ich kann mit ihm den Betrag eines Vektors berechnen und mit den Betrag zweier Vektoren denen von ihnen eingeschlossenen Winkel, doch was genau ist der Sinn dahinter, ist es nur die Berechnung der einzelnen Komponenten oder steckt da mehr dahinter?

Schonmal danke im Voraus für jede Antwort.

MfG BeastMode/ Tim

Comments

hast Du bereits ausgiebig gegoogelt?

Zitat:

" Wie jedes Skalarprodukt ist das Standardskalarprodukt eine positiv definite symmetrische Bilinearform (im komplexen Fall hermitesche Sesquilinearform) und invariant unter orthogonalen bzw. unitären Transformationen. "

also wenn jetzt nicht alles klar ist ...

Answer 1

im Bereich der Schulmathematik leistet das Skalarprodukt z.B. gute Dienste bei den Normalformen von Ebenengleichungen und damit  bei Abstands- und Schnittmengenberechnungen.

Ein einfaches Beispiel aus der Physik:

Du kennst wahrscheinlich das Gesetz  Arbeit = Kraft • Weg:  W = F • s

In dieser Form gilt es aber nur dann, wenn die Kraft in Richtung der Bewegung wirkt. Wenn man zum Beispiel mit der Kraft F an der Deichsel eines Handwagens - wie üblich - schräg nach oben zieht, stimmen die Bewegungsrichtung und die Kraftrichtung nicht mehr überein. Sie bilden einen Winkel α miteinander.

Die Formel muss dann  W = F • s • cos(α) lauten.

Fasst man aber den Weg als Vektor  \(\overrightarrow{s}\) mit Betrag = Weglänge  und der Bewegungsrichtung  als Richtung auf, dann bleibt

Arbeit =  \(\overrightarrow{Kraft}\)  • \(\overrightarrow{Weg}\) =  \(\overrightarrow{F}\) • \(\overrightarrow{s}\)  mit Hilfe des Skalarprodukts erhalten.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die geometrische Bedeutung des Skalarproduktes a·b ist: Multipliziere die Länge von a mit der Länge der Projektion von b auf a.