Question

Unter allen Rechtecken gegebenen Umfangs bestimme man das flächengrößte.

Frage ist wie berechnet man so etwas?

lg

Answer 1

Der gegebene Umfang sei u. Die Seitenlängen des Rechtecks seien a und b. Dann ist u = 2(a+b) oder (i) b= u/2-a und (ii) F = a·b. (i) in (ii) eingesetzt, ergibt: F_u(a)=a(u/2-a) oder F_u(a)=a·u/2-a². Das ist eine Funktionenschaar mit dem Schaarparameter u. Die Nullstelle ihrer ersten Ableitung nennt das a in Abhängigkeit von u, für welches das flächengrößte Rechteck gefunden werden kann.

Comments

Man sollte noch hinzufügen, das die Schar F_a nach unten geöffnete Parabeln darstellt, die als einzigen Extrempunkt einen Hochpunkt haben.

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Ja, das ist ein wertvoller Zusatz.

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Hallo Roland,

du kannst noch einen Schritt weiter gehen.

F ( a ) =a·u/2 - a².

1.Ableitung bilden

F ´( a ) = u/2 - 2 * a

Der Extrempunkt ( größter Flächeninhalt ) ist bei
U / 2 - 2 * a = 0
a = U / 4

Eingesetzt in
(i) b= u/2-a = U / 2  - U / 4
b = U / 4

a = b

Das flächengrößte Rechteck ist stets ein Quadrat.

mfg Georg

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Georg,

Danke für deinen Zusatz. Ich wollte dem Fragesteller noch etwas zum Selbstentdecken übrig lassen. Ich war da allerdings nicht sehr konsequent, denn ich hätte sehr viel weiter im Allgemeinen bleiben können.

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Danke für eure antworten gibt es dazu einen link um sich einzulesen(Thema?) ?Versteh das nämlich überhaupt nicht ...
lg

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Zur Beantwortung der Frage wurde / mußte die Differentialrechnung
benutzt werden.
Ich nehme an die hast du noch nicht gehabt.
mfg Georg

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doch hatte ich bereits ist mir dennoch nicht ganz klar wie ich das angehen muss...

Answer 2

Hallo Gucki123,

Seitenlängen des Rechtecks a und b
U ist der Umfang
U = 2 * ( a + b )
Eine Seitenlänge kann ausgedrückt werden als
b = U / 2 - a

F ist die Fläche
F = a * b
b eingesetzt
F = a *  ( U / 2 - a )
F = U / 2 * a - a^2
U wird in der Formel als Konstante angesehen
Die Fläche F ist nur noch von a abhängig.
F ( a ) = U / 2 * a - a^2

( Die Funktion kannst du dir mit U = 1 und a = x als
Funktion 1 / 2 * x - x^2 einmal plotten lassen. Ich könnte diese
bei Bedarf auch einstellen )

Jetzt wird das Maximum der Funktion F ( a ) = größte Fläche
bestimmt. 1.Ableitung bilden, zu Null setzen und berechnen.
( siehe auch meinen Kommentar bei Rolands Antwort )

1.Ableitung bilden

F ´( a ) = u/2 - 2 * a

Der Extrempunkt ( größter Flächeninhalt ) ist bei
U / 2 - 2 * a = 0
a = U / 4

usw

mfg Georg