Abstand der Gerade x=xE und x=xW

Question

Die Aufgabe lautet: Jeder Graph Ga der Funktionsschar fa(x)=a²*x*e^{-a*x} besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt, beide habe ich ermittelt mit ihren Ortskurven.
Wie kann ich nachweisen das für jedes a der Abstand der beiden Geraden x=xE und x=xW 1/a ist ?

Answer 1

Ich nehme an, du meinst x=x_E und x=x_W. Da du diese Stellen bereits kennst, brauchst du nur noch ihre Differenz zu bilden

Comments

als Ortskurve für extrempunkt habe ich y=-1/x*e^1 und bei dem Wendepunkt y=4/x*e^-2

muss ich dann -1/x*e^1 - 4/x*e^-2 = 1/a ?

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Es geht nicht um die Ortskurven. Du hat doch x_E (x-Koordinate des Extremums) und x_W (x-Koordinate des Wendepunktes) bereits bestimmt. Jetzt fehlt nur noch x_W-x_E.

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wenn ich das so mache komme ich auf 2/a - 1/-a = 3/a

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@Roland:

Da a<0 nicht ausgeschlossen ist (?) ,  ist der Abstand  | x_W - x_E |  = | 1/a |  

(vgl. meine Antwort) 

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Doch habe ich vergessen zu erwähnen a>0. Ich werde meine Rechnung nochmal überprüfen müssen

Answer 2

> Wie kann ich nachweisen das für jedes a der Abstand der beiden Geraden x=xE und x=xW 1/a ist ? 

Das ist nur für a>0 so.

f_a'(x) = a² ·e^-ax · (1 - a·x)

f_a''(x) = a³ ·e^-ax · (a·x - 2)

x_E = 1/a   ;   x_W = 2/a  

Die beiden Geraden x = x_E   und  x = x_W  sind Parallelen zur y-Achse.

Ihr Abstand beträgt deshalb | x_W - x_E | = | 2/a - 1/a | = | 1/a |  

Beispiel:

Für a=1:    x_E = 1 und x_W = 2     ;  für a=-1:     x_E = -1  und  x_W = -2 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke mein Fehler lag in der Berechnung des Extrempunktes