Parameterform für Parabel über Brennpunkt finden

Question

Ich möchte eine Parabel zeichnen mit einem Computerprogramm.

Das Programm hat eine Funktion mit der es den Graph beliebiger Funktionen zeichnen kann.

Es erwartet die Funktion jedoch in Parameterform.

in meinem Beispiel hat die darzustellende Funktion die Form y(x)= a x^2 + b, wobei der Brennpunkt im Koordinatenursprung liegen soll.

Gegeben sind also der Brennpunkt im Koordinatenursprung sowie ein Punkt p0 (x0, y0) welcher auf der Parabel liegt.

Kann man mit diesen Angaben eine Parameterform finden?

Vielen Dank für Hilfe.

Gruß,

Michael

Comments

Was vestehst du unter Parameterform?

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keine Ahnung, wie ich meine Frage nochmal bearbeiten kann.

Also lt. Wiki hat eine Parabel der Form y(x)=a x^2 ihren Brennpunkt bei x=0 und y=1 / 4a.

Das bedeutet doch: b= -1 / 4a .

Aber wie hilft mir das weiter mit meinem Ziel eine Parameterform zu finden?

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Hallo Oswald,

ich benötige eine Form die Funktion bei der die Koordinaten x, y in Abhängigkeit eines Parameters t dargestellt sind.

Also x = f(t) und y = f(t).

Answer 1

Berechne mit Pythagoras die Entfernung vom Brennpunkt zu p0.

> hat die darzustellende Funktion die Form y(x)= a x² + b

Dann verläuft die Leitgerade horizontal. Subtrahiere die Entfernung zwischen Brennpunkt und p0 von der y-Koordinate des Punktes p0. Dann hast du einen Punkt L(x₁|y₁) auf der Leitgeraden. Auf halbem Weg vom Brennpunkt zur Leitgeraden liegt der Scheitelpunkt SP(x₂|y₂).

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² + e ein.

Löse die Gleichung y(x0) = y0 um a zu bestimmen.

Prameterform: x(t) = t, y(t) = f(t)

Answer 2

Die Parabeln mit der Gleichung f(x) = ax²+b  haben dann und nur dann den Brennpunkt im Koordinatenursprung, wenn a = -1/(4b) ist. Wandle also die Funktionsgleichung f(x) = -x²/(4b) + b in die Parameterform um (beispielsweise, indem du für x = t setzt. Dann ist x(t)=t und y(t)= -t²/(4b) + b).