Betragsgleichung 2 Beträge: | x^2 -1 | = |x|

Question

Löse:

| x^2  -1 | = |x|

Danke

Answer 1

Folgende Skizze hilft dir bei der Fallunterscheidung:

 ~plot~ abs(x^2 -1) ; abs(x) ~plot~

Du darfst dann bestimmt die Symmetrie ausnützen um den Aufwand in Grenzen zu halten. 

| x²  -1 | = |x|

1. Fall:

x^2 - 1 = x 

liefert automatisch schon 2 Resultate. (überlege warum).

2. Fall  (erübrigt sich vielleicht wegen Symmetrien).

x^2 - 1 = -x

Answer 2

Es gibt 3 Fälle:

1. x>=1

2.x<=-1

3. -1<x<1

Answer 3

|x^2-1|=|x|

(x^2-1)^2=x^2

x^4-2x^2+1=x^2

x^4-3x^2+1=0

x^2=z

z^2-3z+1=0

z=3/2±(√5)/2

Rücksusbtitution

x=±√[3/2+(√5)/2]

x=±√[3/2-(√5)/2]

Comments

im Ergebnis kommt man dann auch jeweils  mit einer Wurzel aus:

x = ± 1/2 * (√5 + 1)  oder x = ± 1/2 * (√5 - 1)