3ter Zweig von LN (-2-2i)

Question

könnte mir jemand die Bedeutung von Zweigen in der Berechnung von LN / Wurzeln erklären und mir

den dritten Zweig von ln(-2-2i) berechnen inkl. Rechnung?

Answer 1

ln(-2-2i) ist diejenige komplexe Zahl, mit der man e potenzieren muss, damit (-2-2i) herauskommt. Die Problem hat nur eine Lösung und nicht drei.

Comments

Die Exponentialfunktion hat doch die Periode \(2\pi i\). Wenn man einen Wert für den Logarithmus hat, dann gleich noch abzaehlbar unendlich viele weitere. Welcher jetzt "der dritte Zweig" sein soll, ist mir nicht bekannt.

Answer 2

LN(z)=w <----> z=e^w

Die komplexe Exponentialfunktion ist 2π periodisch im Imaginärteil:

e^{w}=e^{x+iy}=e^x*(COS(y)+i*sin(y))

Wenn w eine Lösung darstellt, so ist w'=w+i*2*π*n auch eine Lösung.

Die komplexe Exponentialfunktion wird für gewöhnlich auf dem Fundamentalstreifen  S={x+iy : -π<=y<=π} definiert.

Dein Beispiel:

LN(-2-2i)=LN(2*√2*e^{-i*3π/4}=LN(2*√2)-i*3π/4=w

(Liegt im Fundamentalstreifen)

Für den 3ten Zweig würde ich den Imaginärteil um 2*2π vergrößern.