Gleichung aufstellen nullstellen maximum gegeben

Question

Bestimmen Sie auf (0,π) die gleichung der Parabel für die die nullstellenberechnung und das Maximum mit denen der sinus funktioniert y=sin (x) übereinstimmen.

also:

N₁ (π/0) N₂(2π/0) M (π/2  / 1)

wie komme ich aber auf eine gleichung?

Comments

Soweit ich weiß, hat die Sinusfunktion im Intervall \((0,\pi)\) überhaupt keine Nullstellen...

Und zu erwarten, dass der Frager die Aufgabe richtig abschreibt, ist vermutlich auch zuviel des Guten?

Answer 1

Ansatz f(x)=k·x·(x-2π). Zwecks Bestimmung von k, setzen wir den Punkt (π/2;1) ein: 1=k·π/2·(π/2-2π). Nach k auflösen und in den Ansatz einsetzen.

Comments

Sollte nicht f(π) = 0 gelten?

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Ja, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Hoffentlich hat das nicht zu Problemen geführt.

Answer 2

N₁ (π/0) N₂(2π/0) M (π/2  / 1)

Kann N2 richtig sein wenn das Intervall [0 ; pi] ist ?

Ansatz über Nullstellen

fa(x) = a*x*(x - pi)

Ansatz für maximum

fa(pi/2) = a*(pi/2)*((pi/2) - pi) = 1 --> a = -4/pi^2

Damit lautet die Funktion

fa(x) = -4/pi^2*x*(x - pi) = 4/pi·x - 4/pi^2·x^2

Skizze

~plot~ sin(x);4/pi*x-4/pi^2*x^2 ~plot~

Nun ist nur noch die Frage, ob das so gemeint war.

Comments

Danke, mit ist aber nicht klar wie man auf diese Gleichung fa(x) = a*x*(x - pi) kommt?

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> ... wie man auf diese Gleichung fa(x) = a*x*(x - pi) kommt?

Man hat irgendwann in Klasse 9 mal Gleichungen wie zum Beispiel 5x·(x-3) = 0 gelöst und die daraus gewonnen Erkenntnisse verallgemeinert (Stichwort Satz vom Nullprodukt).

Als Ersatz kann man natürlich auch den Ansatz f(x) = ax² + bx + c wählen, die drei gegebenen Punkte einsetzen und das daraus entstandene Gleichungssystem lösen. Das erfordert aber wesentlich mehr Rechenaufwand.

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Dankeschön, kann mich gar ich erinnern dass ich das so hatte

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Das ist leider auch Lehrerabhängig. Jeder Schüler hat meist ein Schulbuch. Dummerweise wird aber nicht das komplette Schulbuch in einer Klassenstufe durchgearbeitet sondern der Lehrer setzt Schwerpunkte, was er machen möchte. So bekommen leider viele Schüler wichtige Grundlagen nicht mit. Wie z.B. eben die faktorisierte Form.

Ich empfehle daher jeden Schüler auch unabhängig vom Unterricht mal einen Blick ins Schulbuch zu riskieren.