Beispiel aus Integralrechnung, lösen mit Riemann Summe

Question

Berechne das Integral$$ \int _{ a }^{ b }{ { x }^{ k } } dx (0<a<b, k∈ℕ) $$mittels der Riemann'schen Summe.
Hinweis:Nutze dafür eine Zerlegung des Intervalls [a, b] über x_i := aqⁱ mit i=0,...,n und$$ q = \sqrt [ n ]{ \frac { b }{ a }  }  $$und benütze die Stützstellen ξ_i := x_i-1 mit i = 1,...,n
Ich habe nicht mal eine Lösungsidee

Comments

Ich habe nicht mal eine Lösungsidee

Bei der Aufgabe wird erstmal keine Idee verlangt. Es steht klar dabei, wie Du vorgehen sollst: Du sollst eine Riemannsche Zwischensumme gemaess Vorgabe hinschreiben.

Answer 1

$$  \sum_{i=1}^{n}{f({ x}_{ i-1 })*({ x}_{ i }-{ x }_{ i-1 })}$$und wegen f(x)=x^n und der Vorgabe der Stützstellen$$  \sum_{i=1}^{n}{f({a}*{q}^{i-1})*({a}*{q}^{i}-{a}*{q}^{i-1})}$$$$  \sum_{i=1}^{n}{{a}^{k}*{q}^{k*(i-1)}*({a}*{q}^{i}-{a}*{q}^{i-1})}$$
$$  {a}^{k}\sum_{i=1}^{n}{{q}^{k*(i-1)}*a*({q}^{i}-{q}^{i-1})}$$
$$  {a}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}{{q}^{k*(i-1)}*({q}^{i}-{q}^{i-1})}$$
$$  {a}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}{{q}^{k*(i-1)}*{q}^{i-1}*(q-1)}$$
$$ (q-1)* {a}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}{{q}^{k*(i-1)}*{q}^{i-1}}$$
$$ (q-1)* {a}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}{{q}^{(k+1)*(i-1)}}$$
und mit p = q^{k+1} gibt das
$$ (q-1)* {a}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}{{p}^{i-1}}$$
mit der Summenformel für die geo. Reihe
$$ (q-1)* {a}^{k+1}\frac { ({ p }^{ n } -1)}{ p-1 }$$
und wegen q^n = b/a und p = q^{k+1} ist das
$$ ({(\frac { b }{ a })}^{\frac { 1 }{ n }}-1)* {a}^{k+1}\frac { ({ (\frac { b }{ a } )}^{ k+1 } -1)}{ {(\frac { b }{ a })}^{\frac { k+1 }{ n }}-1 }$$
$$ ({(\frac { b }{ a })}^{\frac { 1 }{ n }}-1)*\frac { ({b }^{ k+1 } - {a}^{k+1})}{ {(\frac { b }{ a } )}^{\frac { k+1 }{ n }}-1 }$$
Jetzt ist es fast fertig; denn es muss nur noch der GW für n gegen unendlich gebildet werden. Und da muss bei dem
$$ \frac { ({(\frac { b }{ a })}^{\frac { 1 }{ n }}-1)}{ {(\frac { b }{ a } )}^{\frac { k+1 }{ n }}-1 }$$
dann eben 1/(k+1) herauskommen, und das tut es ja.