Grenzwert mit eulerscher Zahl. Lim_{n→∞}(1-1/n^2)^{2n}

Question

Hi Ich brauche diese Aufgabe zu lösen
Lim_n→∞(1-1/n^2)²ⁿ

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(1-1/n²)²ⁿ=((1-1/n²)²)ⁿ=(1-2/n²+1/n⁴)ⁿ. Der Ausdruck in der Klammer geht für n→∞ gegen 1 und 1ⁿ geht für n→∞ gegen 1.

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So kann man nicht argumentieren. n geht gleichzeitig gegen ∞ an allen Stellen, an denen es steht. Nicht in zwei Schritten. Ausserdem bekaeme man nach dieser Argumentation auch lim (1+1/n)ⁿ = 1.

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Das sehe ich ein.

Answer 1

Der Term ist der Gleiche wie

  (  (1-1/n²)ⁿ   )²

= (   (1-1/n)ⁿ     *       (1+1/n)ⁿ       )² 

Das rote geht gegen 1/e und das grüne gegen e

also gesamt Grenzwert  1² =  1

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Wie so kann man so schreiben?

Ich meine das rote und das grüne. Warum wechseln dort - und +?