Question

Bestimmen sie die Ableitung ( lim oder h- Methode). r(t) = (t^√2)²; s(a) = a^3,5; h(u) = (1/u^-5)^0,1; h(x) = x^{^1/3};Mein Problem ist jetzt das ich keine Ahnung habe wie ich diese aufgaben berechnen muss. ich bitte um schnelle antworten.

Answer 1

Also bei h würde ich zunächst vereinfachen $$h(u)=\left(\frac{1}{u^{-5}}\right)^{0,1}=(u^5)^\frac{1}{10}=u^{\frac{1}{2}}$$

Ansonsten benutzt man bei der h-Methode für Wurzelfunktionen normalerweise die allgemeinen 3. bin. Formel, wobei a=x+h und b=x gewählt wird, so dass (a-b)=h wird:

$$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{i=0}^n a^{n-i}b^i$$

Ich zeige es einmal bei der leichtesten Funktion h, dann kannst du es bei den anderen probieren (keine Ahnung, ob r damit klappt):

$$\lim_{h\rightarrow0} \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}$$

Der Zähler ist das (a-b) aus der bin. Formel, also erweitert man mit (a²+ab+b²) und wendet die Formel an um a³-b³ zu erhalten:

$$\lim_{h\rightarrow0} \frac{((x+h)^{1/3}-x^{1/3})\cdot ((x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3})}{h\cdot ((x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3})}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^{3/3}-x^{3/3}}{h\cdot ((x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3})}$$

Den Zähler vereinfachen und das h kürzen führt zu

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{(x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3}} = \frac{1}{x^{2/3}+x^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3}}=\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}$$

Comments

Da sind mir in der Erklärung ein paar Fehler unterlaufen (die Rechnung sollte aber stimmen):

a=h(x+h) und b=h(x), so dass bei Anwendung der h-Methode der Term (a-b) aus der bin. Formel im Zähler steht.

Dann gilt aⁿ⁺¹ - bⁿ⁺¹=h und es kann wie gezeigt gekürzt werden.

Außerdem war h(x) wohl wahrscheinlich doch nicht die leichteste Funktion, s(a) und h(u) sollten mit der aus der Schule bekannten 3. bin Formel auskommen, nur r(t) kann ich nicht einschätzen.