Schnittpunkt bestimmen (Vektoren)

Question

Ich habe eine Aufgabe, die aus mehreren Teilaufgaben besteht. Leider kann ich die letzte Teilaufgabe, also c.) nicht ganz nachvollziehen. Die komplette Aufgabe lautet:

Sie sind als Vektorgeometrieexperte bei einem Computerspielhersteller angestellt. Ihr Arbeitgeber entwickelt ein Spiel, das auf Star Wars basiert. Sie sollen die Laserschwerter von Luke Skywalker und Dart Vader genauer untersuchen. Hierzu haben sie ein Koordinatensystem definiert. Weiter nehmen wir an, dass die Schwerter in beide Richtungen unbegrenzt lang sind und so durch Geraden modelliert werden können. Lukes Schwert lässt sich durch

l:x= (-7 -4 6)+s×(1 4 1)

und das Schwert Darth Vader durch

d:x=(-3 2 4)+t×(1 -1 -2)

beschreiben. Sie sollen nun folgende Aufgaben lösen:

a.) Am Punkt P(-1/0/0) befindet sich eine Lampe. Wird sie von einem der Schwerter getroffen?

b.) Treffen sich die Schwerter in einem Punkt? Wenn ja, geben Sie auch den Schnittwinkel an.

c.) Geben Sie die Schnittpunkte von Lukes Schwert mit den Koordinatenebenen an.

Teilaufgabe a.) und b.) konnte ich erfolgreich lösen. Bei c.) weiß ich allerdings nicht mehr, wie man genau vorgeht.

Auf hilfreiche Antworten zu c.) würde ich mich freuen.

LG

Answer 1

a)

Luke's Schwert:

[-7, -4, 6] + r·[1, 4, 1] = [-1, 0, 0] --> nie erfüllt

Darth Vader's Schwert:

[-3, 2, 4] + s·[1, -1, -2] = [-1, 0, 0] --> s = 2

b)

[-7, -4, 6] + r·[1, 4, 1] = [-3, 2, 4] + s·[1, -1, -2] --> r = 2 ∧ s = -2

[-7, -4, 6] + 2·[1, 4, 1] = [-5, 4, 8]

α = ACOS([1, 4, 1]·[1, -1, -2]/(ABS([1, 4, 1])·ABS([1, -1, -2]))) = 118.76° bzw. 61.24°

c)

[-7, -4, 6] + r·[1, 4, 1] = [x, y, 0] --> x = -13 ∧ y = -28 ∧ r = -6 --> [-13, -28, 0]

[-7, -4, 6] + r·[1, 4, 1] = [x, 0, z] --> x = -6 ∧ z = 7 ∧ r = 1 --> [-6, 0, 7]

[-7, -4, 6] + r·[1, 4, 1] = [0, y, z] --> y = 24 ∧ z = 13 ∧ r = 7 --> [0, 24, 13]