Supremum, Infimum einer Menge

Question

Ich bin mir nicht sicher ob ich richtig verstanden habe, wie man einen Beweis durchführt.

Ich habe folgende Menge gegeben und muss diese auf das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum untersuchen.

M:={(-1)^x + 1/(x^2) : x ∈ N}

Ich gehe davon aus, dass :

1) sup M = max = M = 5/4

2) inf M = -1, min M existiert nicht

Zu 1) muss ich doch zeigen, dass 5/4 ∈ M und für alle s ∈ M gibt es ein x ∈ N, so dass gilt s ≤ 5/4 :

5/4 = (-1)^2 + 1/(2^2) ∈ M

⇔ 1 + 1/4 ∈ M

⇔ 5/4 ∈ M 

∀ s ∈ M ∃ x ∈ N : s = (-1)^x + 1/(x^2) ≤ 5/4

Fall 1 x ungerade :

⇔ (-1 + 1/x^2 ≤ 5/4 )

⇔ 1/x^2 ≤  9/4

⇔ x² ≥ 4/9

⇔ x² ≥ 2/3

Fall 2 x gerade :

⇔ (1 + 1/x^2 ≤ 5/4 )

.....

⇔ n ≥ 2

Da x ∈ N und somit x ≥ 1 ist folglich sup M = max M = 5/4 

Wäre das ein gültiger Beweis zu 1)?

Zu 2) habe ich das ganze analog gemacht.

Für alle s Element M gibt es ein x Element N : s > -1

Bei der Fallunterscheidung erhalte ich 1/n² > 0 und 1/n² > -2

Da x ∈ N und somit x ≥ 1 ist folglich inf = -1

Hier weiß ich nicht wirklich wie man beweisen soll, dass -1 nicht in der Menge liegt.

Answer 1

Hier weiß ich nicht wirklich wie man beweisen soll, dass -1 nicht in der Menge liegt.Für gerades n ist es ja offenbar;  1 + 1 / x^2  ist > 0

Für ungerades n  müsste   -1 + 1 / x^2 = -1 sein, also

1/x^2 = 0   was nicht möglich ist.   Also -1 ∉ M.

Comments

Danke für deine Antwort.

Das klingt ziemlich logisch. Ist der Rest meiner Beweisführung überhaupt ein richtiger Beweis?