Koordinate z bestimmen. Winkel.

Question

Hallo.

Vielleicht kann jemand helfen.

Gegeben sind die Vektoren \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}{4} \\ {4} \\ {2}\end{array}\right) \) und \( \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{6} \\ {0} \\ {z}\end{array}\right) \)

Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) eine Größe von \( 45^{\circ} \) hat? 

Answer 1

Hi,

es ist

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$

Damit also:

$$\cos(45°) = \frac{4\cdot6 + 4\cdot0 + 2\cdot z}{\sqrt{4^2+4^2+2^2}\cdot\sqrt{6^2 + 0^2 + z^2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{24 + 2z}{\sqrt{36}\cdot\sqrt{36+z^2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{24 + 2z}{6\cdot\sqrt{36+z^2}}$$

Werde die Nenner los:

$$6\sqrt{36+z^2} = \sqrt 2(24+2z))$$

Quadriere

$$36\cdot(36+z^2) = 2\cdot(24+2z)^2$$

Sortiere

$$28z^2-192z+144 = 0$$

Dividiere durch 28 und wende die pq-Formel an:

$$x_{1} = \frac67$$

$$x_{2} = 6$$

Grüße

Comments

Einige Fragen habe ich:

1.) Wie kommst Du anfangs auf 6*Wurzel(36+z²)?

2.) Wird man denn die Nenner los?

3.)  28 z²-192 z+144=0

Wie kommst du auf -192 z.. Das geht doch gar nicht...oder?

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1. Es ist doch √36 = 6 :)

2. Du multiplizierst "über kreuz", also einfach mit beiden Nennern

3. Wie meinst Du, dass das nicht geht? Multipliziere die Zeile darüber aus und bringe alles auf eine Seite :).

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Vielen Dank

Du hast wahrscheinlich einen Tippfehler gemacht ...

Das was unter ,,Quadriere`` steht.

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Nene, solche Fehler baue ich immer wieder mal ein um die Fragesteller zu testen :D.

Nah Du hast völlig recht. Da ist mir die Klammer verrutscht. Habs korrigiert :).

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;)

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hi, bei meinem taschenrechner kommt für cos(45grad)= wurzel 2 / 2 raus. wenn ich damit weiterrechne komme ich auf ein falsches ergebnis. wie kommst du auf 1/wurzel 2 ? beides ist richtig aber mit deinem lässt sich besser arbeiten

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Hast Du eventuell die Klammern falsch gesetzt oder so? Beides ist ja identisch damit sollte auch beide Male das gleiche rauskommen.